Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.

 

• Bir üçgende bir tane geniş açı olabileceğinden geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur.

2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür.
ABC üçgeninde 
lb – c l <a < (b + c)
Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.
|a � c| < b < (a + c) ve |a � b| < c < (a + b) olur.

3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.
a. Bir dik üçgende
kenarlar arasında
a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır.

b. Dar açılı üçgen
b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür.
m(A) < 90° Û a2 < b2 + c3

c. Geniş açılı üçgen 
b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür. 
m(A) < 90° Û a2 > b2 + c3

4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması,

|AH| = ha ; yükseklik
|AN| = nA ; açıortay
|AD| = Va ; kenarortay

ha< nA <Va

5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;
ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. 
m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. 
Bu durumda üçgende

kenarlar : a > b > c
yükseklikler : ha < hb < hc
Açıortaylar : nA < nB < nC
Kenarortaylar : Va < Vb < Vc
şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.

• Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.

6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur.

|BD| + |DC| < |AB| + |AC|

  

• ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir.

ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür.

a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|
köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha büyük ve çevrenin yarısından daha küçük olamaz.

• İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından

|DA| + |AB| + |BC|
toplamı |DE| + |EF| + |FC|
toplamından daha büyüktür. 

7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için;
|AP| + |BP| + |CP|
toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin yarısından küçük olamaz.

• Burada ve Çevre değerleri sınır değer değildir.

• DİK ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.
şekilde, m(A) = 90°
[BC] kenarı hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarları
dik kenarlardır.

• PİSAGOR BAĞINTISI

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
ABC üçgeninde m(A) = 90°

  

a2=b2+c2

• ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1. (3 – 4 – 5) Üçgeni
Kenar uzunlukları (3 – 4 – 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 – 8 – 10), (9 – 12 – 15), � gibi

2. (5 – 12 – 13) Üçgeni
Kenar uzunlukları (5 – 12 – 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 – 24 – 26), (15 – 36 – 39), � gibi.

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

3. İkizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2 
m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende
hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır.

4. (30° � 60° � 90°) Üçgeni
ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde
ABH ve ACH (30° – 60° – 90°)
üçgenleri elde edilir.
|AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| = 

pisagordan 

(30° – 60° – 90°) dik üçgeninde; 30°’nin karşısındaki kenar
hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar,
30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır.

5. (30° – 30° – 120°) Üçgeni
(30° – 30° – 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur.

6. (15° – 75° – 90°) Üçgeni 
(15° – 75° – 90°) üçgeninde
hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs 
|BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört
katıdır.
 

• ÖKLİT BAĞINTILARI

Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
h2 = p.k

2.
b2 = k.a
c2 = p.a
3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde 

a.h =b.c

• Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir.Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.     

• İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C)

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC]
m(B) = m(C)

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

SORU ÇÖZÜMLERİ

5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.

|AB| = |AC| &THORN; |LC| = |HP| + |KP|

8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.


EŞKENAR ÜÇGEN
1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.
nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc 

2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik 
Bu durumda eşkenar üçgenin alanı 


yükseklik cinsinden alan değeri
Alan(ABC) = 
3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.
Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

ABC üçgeninde m(A) > m(B) > m(C)
a > b > c
Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.
İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

m(B) = m(C) => |AB| = |AC|
m(A) < m(B) = m(C) ise
|BC| < |AB| = |AC| olur.