Trigonometri Nedir? Trigonometri Konu Anlatımı, Örnek Sorular ve Cevaplar

Yönlü Açı:

Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif  yön denir.

Açı Ölçü Birimleri:

Derece: Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.

1 derece  60 dakikadır. 1 dakika  60  saniyedir.

1^o = 60¢ ,  1¢= 60¢¢

Radyan: Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.

Grad: Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.

Esas Ölçü:

Derece cinsinden bir açının 360^o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2p ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.

Trigonometrik Fonksiyonlar:

Açının sinüsü ve kosinüsü:

Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.

x₀ = cosa ,      y₀ = sina

Sonuç:

1.   P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;

-1 £ cosa £ 1  veya  cos: R ® [-1,1]  dir.

Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;

-1 £ sina £ 1  veya  sin: R ® [-1,1]  dir.

Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.

2.   x₀ = cosa  ve  y₀ = sina  olduğuna göre;    cos²a + sin²a= 1 dir.

Açının tanjantı ve kotanjantı:

Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tana  dir.

Sonuç:

T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;

"a Î T={a ½aΠIR ve a¹p/2 +kp, kΠZ } için  tan: T ® R  dir.

Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (p/2 +kp) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.

"a Î K={a ½aΠIR ve a¹kp, kΠZ } için  cot: K ® R  dir.

Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (kp) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.

BİRİM ÇEMBER:

Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.

x ekseni, Cosinüs ekseni

y ekseni , Sinüs eksenidir.

Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri

Peiyodik Fonksiyonlar:

¦:A®B bir fonksiyon olsun. "x ÎA için ¦(x+T) =¦(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, ¦fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ¦’ nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir.

Buradan hareketle;

k Î Z olmak üzere "aΠIR için;

cos(a + k.2p) = cosa   ve   sin(a + k.2p) = sina   olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyoduk.2p ve esas periyodu 2p  dir.

Aynı şekilde;

k Î Z olmak üzere  a¹p/2 +kp ve a Î IR için  tan(a + k.p) = tana

k Î Z olmak üzere  a¹kp ve a Î IR için  cot(a + k.p) = cota   olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu k.p ve esas periyodu p  dir.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar:

30⁰ , 45⁰ , 60^o nin trigonometrik oranları

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER

Trigonometrik Bağıntılar

Trigonometrik Özdeşlikler

Cos, Sinüs Ve Tanjant Teoremleri

Trigonometrik Fonksiyonlarin Birbiri Cinsinden İfadesi:

Kök Formülleri:

Trigonometrik Denklemleri:

aÎ[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü:

Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+2kp  veya  x= -a +2kp,  kÎZ}  olur.

Örnek:

Cosx=1/2  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

[0,2p) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar p/3 ve -p/3  olduğu hatırlanırsa;

Örnek:

Cosx=Ö2/2  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

[0,2p) aralığında kosinüsü Ö2/2 olan gerçek sayılar p/4 ve -p/4  olduğu hatırlanırsa;

Ç={x½x=p/3+2kp  veya x=-p/3+2kp, kÎZ}  olarak bulunur.

aÎ[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü:

Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+2kp  veya  x= (p - a) +2kp,  kÎZ}  olur.

Örnek:

sinx=Ö3/2  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

[0,2p) aralığında sinüsü Ö3/2 olan gerçek sayılar p/3 ve p-p/3  olduğu hatırlanırsa;

Örnek:

sinx=0  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

[0,2p) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve p  olduğu hatırlanırsa;

Ç={x½x=kp, kÎZ}  olarak bulunur.

aÎR  için tanx=a denkleminin çözümü:

Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+kp,  kÎZ}  olur.

Örnek:

tanx=Ö3  denkleminin çözüm kümesini bulalım.

[0,2p) aralığında sinüsü Ö3/2 olan gerçek sayılar p/3 ve p/3 +p  olduğu hatırlanırsa;

Ç={x½x=p/3+kp, kÎZ}  olarak bulunur.

aÎR  için cotx=a denkleminin çözümü:

Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+kp,  kÎZ}  olur.