Yönlü Açı:
Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.
Açı Ölçü Birimleri:
Derece: Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.
1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir.
1o = 60¢ , 1¢= 60¢¢
Radyan: Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.
Grad: Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.
Esas Ölçü:
Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2p ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.
Trigonometrik Fonksiyonlar:
Açının sinüsü ve kosinüsü:
Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.
x0 = cosa , y0 = sina
Sonuç:
1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;
-1 £ cosa £ 1 veya cos: R ® [-1,1] dir.
Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;
-1 £ sina £ 1 veya sin: R ® [-1,1] dir.
Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2. x0 = cosa ve y0 = sina olduğuna göre; cos2a + sin2a= 1 dir.
Açının tanjantı ve kotanjantı:
Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tana dir.
Sonuç:
T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;
"a Î T={a ½aÎ IR ve a¹p/2 +kp, kÎ Z } için tan: T ® R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (p/2 +kp) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
"a Î K={a ½aÎ IR ve a¹kp, kÎ Z } için cot: K ® R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (kp) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
BİRİM ÇEMBER:
Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
x ekseni, Cosinüs ekseni
y ekseni , Sinüs eksenidir.
Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri
Peiyodik Fonksiyonlar:
¦:A®B bir fonksiyon olsun. "x ÎA için ¦(x+T) =¦(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, ¦fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ¦’ nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir.
Buradan hareketle;
k Î Z olmak üzere "aÎ IR için;
cos(a + k.2p) = cosa ve sin(a + k.2p) = sina olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyoduk.2p ve esas periyodu 2p dir.
Aynı şekilde;
k Î Z olmak üzere a¹p/2 +kp ve a Î IR için tan(a + k.p) = tana
k Î Z olmak üzere a¹kp ve a Î IR için cot(a + k.p) = cota olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu k.p ve esas periyodu p dir.
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar:
300 , 450 , 60o nin trigonometrik oranları
TRİGONOMETRİK FORMÜLLER
Trigonometrik Bağıntılar
Trigonometrik Özdeşlikler
Cos, Sinüs Ve Tanjant Teoremleri
Trigonometrik Fonksiyonlarin Birbiri Cinsinden İfadesi:
Kök Formülleri:
Trigonometrik Denklemleri:
aÎ[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü:
Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+2kp veya x= -a +2kp, kÎZ} olur.
Örnek:
Cosx=1/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2p) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar p/3 ve -p/3 olduğu hatırlanırsa;
Örnek:
Cosx=Ö2/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2p) aralığında kosinüsü Ö2/2 olan gerçek sayılar p/4 ve -p/4 olduğu hatırlanırsa;
Ç={x½x=p/3+2kp veya x=-p/3+2kp, kÎZ} olarak bulunur.
aÎ[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü:
Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+2kp veya x= (p - a) +2kp, kÎZ} olur.
Örnek:
sinx=Ö3/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2p) aralığında sinüsü Ö3/2 olan gerçek sayılar p/3 ve p-p/3 olduğu hatırlanırsa;
Örnek:
sinx=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2p) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve p olduğu hatırlanırsa;
Ç={x½x=kp, kÎZ} olarak bulunur.
aÎR için tanx=a denkleminin çözümü:
Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+kp, kÎZ} olur.
Örnek:
tanx=Ö3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
[0,2p) aralığında sinüsü Ö3/2 olan gerçek sayılar p/3 ve p/3 +p olduğu hatırlanırsa;
Ç={x½x=p/3+kp, kÎZ} olarak bulunur.
aÎR için cotx=a denkleminin çözümü:
Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+kp, kÎZ} olur.
