Logaritma Nedir? Özellikleri, Konu Anlatımı, Örnek Çözümlü Sorular

1. TANIM

aR+ -{1} ve  x R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.
Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.
aR+-{1}, xR+ ve yR olmak üzere,

ay=x Û y=loga x    tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

Örnekler:
1) log2 8 = y Þ 8= 2y Þ y = 3 tür.
2) loga 64 = 3 Þ 64 = a3 Þ a = 4 tür.

4) loga a = x Þ a = ax Þ x = 1 dir.
5) loga 1 = n Þ 1 = an Þ n = 0 dır.
6) log5 (-25) v= m Þ -25 = 5m Þ mR dir.

Sonuç olarak:
1) loga a = 1
2) loga 1 = 0
3)y = loga f(x) Þ f(x) > 0

Örnek:
Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:
Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 Þ log3 (log2 x ) = 50 = 1 Þ log2 x = 31 Þ x = 23 = 8 dir.

Örnek:
Log3 (a3.b.c) = 5

olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

Çözüm:
log3(a3.b.c) = 5 Þ  a3.b.c = 35



Örnek:

Buradan, a.b = 18 dir.

2. ÖZEL LOGARİTMALAR

a) Bayağı Logaritma
y = log10 x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:
log10 10 = log10 = 1 dir.

b) Doğal Logaritma
e = 2,71828…. olmak üzere,
y = loge x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

Örnek:
Loge e = ln e = 1 dir.


3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,yR+ ve a R+ - {1} olmak üzere,

1) loga (x.y) = loga x + loga y


4) loga x = loga y Þ x = y      dir.


Örnek:
1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1


Örnek:
log (2x-y) = log x + log y  olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:
log (2x-y) = log x + log y Þ log (2x-y) = log (x.y)
Þ 2x – y = x.y
Þ 2x = x.y +y
Þ 2x = y. (x+1)



Örnek:

log 5 = a,  log 3 = b, log 2 = c    olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini bulalım.


Çözüm:


= a + 2b – c  dir.


Þ 2. log5 x = 6 – log5 x
Þ 3. log5 x = 6
Þ log5 x = 2
Þ x = 52 = 25   tir.

Örnek:

log 5 = n         olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım. bilgi yelpazesi.net

Çözüm:


aR+, a1 ve xR+ olmak üzere,



Örnek:
log25 =       olduğuna göre, log510 ifadesinin  türünden eşitini bulalım.

Çözüm:




4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.


Y = loga x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,


grafikleri elde edilir.


Not:

y = loga (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.
1) Logaritmanın tanımından,   f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.
2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.


Örnek:
f(x) = log2 (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:
f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ  x>1 için tanımlıdır.
y = 0 için, log2 (x-1) = 0  Þ x = 2 ve
y = 1 için, log2 (x-1) = 1 Þ x = 3
olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,



5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ
aR+-{1} ve xR+ olmak üzere,
f(x) = loga x Û f -1 (x) = ax      tir.

Örnek:

f(x) = log5x Û f –1 (x) = 5x tir.

Örnek:
f(x) = y = 2log5 x Þ x = 2.log5 f –1 (x)



6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a>1 olmak üzere,
loga f(x) loga g(x) Û f(x)  g(x)   (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)
2) 0<a<1 olmak üzere,
loga f(x) loga g(x) Û f(x) g(x)      (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

Örnek:
log3 (log2(x-1)) > 0 Þ log2 (x-1) > 30 = 1
Þ x-1 > 21
Þ x > 3 tür.

Örnek:
log2(x-3)<4 Þ 0 < x-3 <24
Þ 3<x<19 dur.

Örnek:


7. BAYAĞI LOGARİTMA

a) Karekteristik ve Mantis

xR+ , kZ ve 0m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da  x in logaritmasının mantisi denir. bilgi yelpazesi.net

Örnek:

log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

Örnek:

log2 = 0,301   olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

Çözüm:

log (800) = log (23.102) = 2 + 3 log2
= 2 + 3. (0,301)
= 2 + 0,903
= 2,903 olduğundan,
karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.

Not:



Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:
Log (40)40 = 40. log(40)
= 40. (log 22.10)
= 40. (1 + 2 log 2)
= 40. (1+ 0,602)
= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

b) Kologaritma:

xR+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.


tir.

Örnek:

log x = 1,73     olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.