Rasyonel Sayılar İle İlgili Sorular Ve Cevaplar

RASYONEL SAYILARDA ONDALIK SAYILAR 
m Є Z ve n Є Z+ olmak üzere, m / 10n şeklinde yazılabilen kesirlere Ondalık Kesir, sayılara da Ondalık Sayılar denir. Yani, paydası 10' un kuvveti olan kesirler (sayılar) dir. 

Burada a ya tam kısmı, bcd ye de kesir kısmı denir. 
Her doğal sayının ondalık kesir kısmı sıfırdır. 
5,0 ; 175,0 ; 1453,0 

B. ONDALIK KESİRLERDE ÇÖZÜMLEME 
Bir ondalık kesri basamak değerlerinin toplamı biçiminde ifade etmeye ondalık kesri çözümleme denir. 

C. ONDALIK KESİRLERDE DÖRT İŞLEM 
1. Toplama – Çıkarma : Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır. 
2. Çarpma : Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır. 
3. Bölme : Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır. 

D. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLAR 
Bir rasyonel sayı ondalık yazıldığında, ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu açılıma devirli ondalık açılım denir. 
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur. 

· Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir. 
· Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır. 
· Bazı devirli ondalık açılımlar ondalık kesir değildir. 
0,333… gibi. (Çünkü rasyonel sayı olarak yazıldıklarında, ondalık kesir tanımına uymuyor.) 

E. DEVİRLİ ONDALIK AÇILIMLARI RASYONEL SAYIYA ÇEVİRME 
Bir devirli ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulmak için aşağadaki yol takip edilir. 

· Pay için “sayı aynen yazılır, devretmeyen kısım çıkarılır.” 
· Payda için “virgülden sonra devreden rakam sayısınca (9) devretmeyen rakam sayısınca (0) yazılır.” İfadeleri kullanılır. 

Devreden sadece (9) ise pratik olarak bir önceki rakam 1 artırılır. Devreden sayı iptal edilir. 

Paydası 10 un bir kuvveti olan (veya bu şekle getirilebilen) her rasyonel sayı sıfır devredenli bir ondalık açılıma sahiptir. 

F. ONDALIK KESİRLERDE SIRALAMA 
Ondalık kesirlerde karşılaştırma yapılırken, soldan sağa doğru, aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır. 
Bu karşılaştırmada, sayı değeri büyük olan rakamın yer aldığı kesir, diğerlerinden büyük olur. 

G. BİR ONDALIK KESRİ VERİLEN BİR BASAMAĞA GÖRE YUVARLAK YAPMA 
Bir ondalık kesri, kendisine eşit olarak alınabilecek yaklaşık değerlerle ifade etmeye yuvarlak yapma denir. Yaklaşık ifade etme sembolü » şeklindedir. 
Bir ondalık kesri, verilen bir basamakta yuvarlak yapmak için, bu basamağın sağındaki rakama bakılır. Rakamın sayı değeri; 
· 5 ten küçük ise verilen basamaktaki rakam aynen kalır ve sağındaki basamaklar atılır. 
· 5 ve 5 ten büyük ise, verilen basamağın sayı değeri 1 artırılır ve sağındaki basamaklar 



ÖRNEK SORU 1: 

5:X – 1 kesri bileşik kesir ise, x nedir? 


ÇÖZÜM: 
lx-l ≤ 5 ve x – 1 ≠ 0 olmalı 

-5 ≤ x – 1 ≤ 5 

-5+1 ≤ x-1 +1 ≤ 5+ 1 

-4 ≤ x ≤ 6 ve x ≠ 1 

3.a b/c ye tamsayılı kesir denir. 

5 2/3-4 ¼=17/3-17/4=68-51/2 
(4) (3) 

=17/12 bulunur. 



4.kesirlerde sadeleştirme ve genişleştirme yapılır. 

2/3=2.5/3.5=10/55 

=2(-3)/3(-3)=-6/-9=6/9 

20/30=2.10/3.10=2/3 

5.kesirler arasında toplama,çıkarma,çarpma,bölme işlemleri yapılır.toplama ve çıkarma işlemlerinde paydaların eşit olması gerekir. 

Örnek soru: 
1/2a(1)-/a(2)=1-2/2a=-1/2a=-1/2a=1/-2a 

6.kesir problemlerinde önce parantez içi işlemler yapılır.Eğer parantez ok ise önce bölme, çarpma sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Örnek soru 3: 
[3.(1 +5/3)]:1/7].(1/4+1/3)]:6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 

A) 16 B) 49/9 C) 21 D) 16/3 

Çözüm: 

[3.(1+5/3):1/7.(1/4+1/3)]:6 

[3.8/3:1/7.7:12]:6 

[3.8/3.7/1.7/12]:6/1 

8.49/12x1/6=49/9 bulunur. 

Örnek soru 4: 

1 ½.1/3-3/4:6/8+1/2 işleminin sonucu kaçtır? 

A) 0 B) 1/12 C) 5/24 D) 1 



ÇÖZÜM: 

= ½.1/3-3/4:6/8+1/ 

=3/2.1/3-3/4.8/6+1/2 

=1/2-1+1/2=0 


7.Paydası 10, 100, 1000,... şeklinde kesirlere ondalık sayı denir. 

A/10=0,a ab/10=a,b 

8.Bazı kesirler ondalık sayıya çevrildiğinde virgülden sonrası düzenli olarak sonsuza kadar devam eder.Böyle sayılara devirli ondalık sayılar denir. 

Örnek soru: 
2/9 kesrini ondalık olarak yazarsak; 

9.Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıya çevrilirken aşağıdaki formül kullanılır. 

Ab,cde=abcde-abcd/900 =sayının tamamı-devretmeyen sayı/virgülden sonra devreden kadar 9 virgülden sonra devretmeyen kadar 0 
1.235=1235-12/990=1223/990 
10. pozitif kesirler arasında sıralama yapılırken şu yollardan herhangi biri kullanılır. 

a-) Paydaları eşitlenir, payı büyük olan büyüktür. 
b-) Payları eşitlenir, paydası küçük olan büyüktür. 
c-) Ondalık sayıya çevrilir. 
d-) Pay ve payda arasındaki fark aynı ise basit kesirlerde payı büyük olan büyüktür. Bileşik kesirlerde ise payı küçük olan büyüktür. 

(3/8<7/12)5 fark 
(12/2>33/23)10 fark 

11. Negatif kesirler sıralanırken önce pozitif gibi sıralanır, sonra sıralanma ters çevrilir. 



Örnek 

a=-1/2, b=-2/3, c=-3/5 ise a,b ve c yi sıralayınız. 

Çözüm: 1/2 , 2/3, 3/5 sayılarını sıralayalım. Bu kesirlerin paylarını 6 da eşitlersek sırasıyla; 
6/12, 6/9, 6/10 olur. 
6/12<6/10<6/9 bulunur.1/2<3/5<2/3 sayılarını –1 ile çarparsak –1/2>-3/5>-2/3 a>c>b bulunur 

12. Rasyonel sayılarda arada olma iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır. 
xÖrnek soru:
1< x <2 olacak="" imde="" her="" herhangi="" tane="" x="" rasyonel="" 2="" x2="1+2/2=3/2" x1="(1+3/2).1/2=5/2.1/2=5/4" x3="(3/2+2).1/2=7/2.1/2=7/4" 5="" 4="" 3="" 2="" 7="" b="">örnek soru:


½ ile 2/3 rasyonel sayıları arasında ve paydası 36 olan kaç tane rasyonel sayı yazılabilir?

Çözüm:
1/2 =18/36 ve 2/3=24/36
(18) (12)
1/2Örnek soru:
0,0039/0,13=39/10000/13/100

=39/10000.39/13=3/100=0,03


örnek soru:
x pozitif bir ondalık sayıdır.x+1/20 bir tamsayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı nedir?

Çözüm:
X+1/20

X+0,05=1,00
↓
0,95+0,05=1,00

öyleyse x in virgülden sonraki kısmı 0,95 olur.

Örnek soru:
1,2,3,4,5 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay, öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayıda payda olmak üzere, elde edilebilecek kesirlerden en küçüğünün yaklaşık değeri nedir?

Çözüm:
Sayımız 23/54 ≡ 0,43 bulunur.



Örnek soru:
Bir sayıyı 0,25 ile çapmak, bu sayıyı kaça bölmektir?

Çözüm:
A. 0,25
A. 25/100=A.1/4=A/4

Bir sayıyı 0,25 ile çapmak bu sayıyı 4 e bölmek demektir.

Örnek soru:

A=11/10, B=101/100, C= 1001/1000, D= 10001/10000
Olduğuna göre, bu sayıları sıralayınız.

11/10(1000), 101/100(100), 1001/1000(10), 10001/10000(1)

11000/10000, 10100/10000, 10010/10000, 10001/10000

paydaları eşit olan pozitif kesirlerden payı büyük olan daha büyük olduğu için

a>b>c>d bulunur.

Örnek soru:

0,5161616... devirli (periyodik) ondalık sayısını rasyonel sayı biçiminde ifade ediniz.

Çözüm:
0,5161616...=0,516
=516-5/990=511/990


ÖRNEK SORU:
(2-1/2)+(1/2+2)/(3+4/3)-(3+1/3)


ÇÖZÜM:

(2-1/2)+(2+1/2)/(3+4/3)-(3+1/3)
=2+2/13-10=2/3=8/2.3/3=4 Bulunur.


Örnek soru:
Dört arkadaş bir tepsi baklavayı şekildeki gibi paylaşmışlardır.Aldıkları paylara göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A.Meral’in payı hakan’ın payından azdır.
B.AYŞE’NİN payı, ALİ’NİN payından fazladır.
C.AYŞE’nin payı, MERAL’in payına eşittir.
D.HAKAN’ın payı, AYŞE’nin payına eşittir.

Çözüm:
1/4(2) +3/8+1/8=2/8+3/8+1/8=6/8
Tamamı 8/8 dir.
Ayşe’nin payı 8/8-6/8=2/8=1/4 bulunur.Öyleyse Meral’in payı Ayşe’nin payına eşit olur.


Örnek SORU:
3/2:2/2-2/2:2/3 İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3/2.1/2-2/1.3/2

3/4(1)3/1(4)=3-12/4

=-9/4 bulunur.



Örnek soru
A=6/7,b=10/11,c=12/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı nedir?

Çözüm:

Payı paydasından büyük olan pozitif kesirler 1 den büyük, paydası payından büyük olan pozitif kesirler 1 den küçük olduğu için a ve b,1 den küçük, c,1 den büyüktür.

Read more

Büyük Küçük Ses Uyumu Nedir? Ünlü Uyumu Nedir | Konu Anlatımı

BÜYÜK SES (ÜNLÜ) UYUMU


Herhangi bir kelimenin Türkçe olup olmadığını anlamak için arayacağımız ilk özellik büyük ünlü kuralına uyup umadığıdır.
kiralamak __ ki - ra - la - mak __ İnce sesli ile başlamış, kalın sesli ile bitmiş. uymaz
merdiven __ mer - di - ven __ Büyük Ünlü Uyumuna uyar

İstisnalar:

Ses değişikliğine uğrayan kelimelerde bu kural aranmaz. (elma - alma, anne - ana, kardeş - kardaş, hangi - kangı...) 
Birleşik kelimelerde bu kural aranmaz (ağabey, gecekondu, başöğretmen, delikanlı...) 
Türkçeye yabancı dillerden giren kelimelerde kural aranmaz (Cumhuriyet, misafir, otobüs, televizyon, cami...) 
-yor, -ken, -ki, -leyin, -imtırak, -daş eklerinde bu kural aranmaz (ekşimtırak, sabahleyin, sonraki...) 

KÜÇÜK SES (ÜNLÜ) UYUMU


Sesli harfler ağzımızdan çıkış durumlarına göre bazı özellikler taşır 

DÜZ-GENİŞ
a, e

DÜZ -YUVARLAK

o, ö

DAR-DÜZ

ı, i

DAR-GENİŞ

u,ü


Düz Sesliler : a, e, ı, i
Yuvarlak Sesliler: o, ö, u, ü

Dar Sesliler : ı, i, u, ü
Geniş Sesliler : a, e, o, ö

Türkçede bir kelimenin ilk hecesindeki sesli harf:

Düz ise, sonra gelen hecelerin ve eklenen eklerin de düz olur. 
Yuvarlak ise, sonra gelen hecelerin ve eklenen eklerin de seslileri ya düz - geniş veya dar - yuvarlak olur. 
Kelimenin ilk hecesinde "a" varsa, daha sonraki hecelerde de "a" veya "ı" bulunur: kadın, kalın, adam, aman...


"e" den sonra "e" veya "i" gelir: elek, eşit, erik, esen...
"ı" den sonra "a" veya "ı" gelir: kırık, çıkık, kımız, kısa, kına...
"i" den sonra "e" veya "i" gelir: çilek, kiriş, çiçek, biniş...
"o" den sonra "a" veya "u" gelir: kova, koru, sopa...
"ö" den sonra "e" veya "ü" gelir: ölüm, örgü, sopa
"u" den sonra "a" veya "u" gelir: kuyu, kuzu, kuşak, kulak...
"ü" den sonra "e" veya "ü" gelir: üzüm, üzgün, güzün, üzmek...

Read more

Plazma Maddeler Nelerdir? Özellikleri

PLAZMA:Plazma, basitce gaz haldeki maddelerin manyetik kutuplaştırmaya bağlı doğrusal noktalarda oluşan fiziksel ve kimyasal reaksiyonun kontrollü etkileşim sürecine verilen genel ad. 

Plazma, kimya ve fizikte iyonize olmuş gaz anlamına gelmektedir. İyonize gaz için kullanılan plazma kelimesi 1920'li yıllardan beri fizik literatüründe yer etmeye başlamıştır. Kendine özgü niteliklere sahip olduğundan, plazma hali maddenin katı, sıvı ve gaz halinden ayrı olarak incelenir. 

Katı bir cisimde cismi oluşturan moleküllerin hareketi çok azdır, moleküllerin ortalama kinetik enerjisi herhangi bir yöntemle (örneğin ısıtarak) arttırıldığında cisim ilk önce sıvıya, sonra da gaza dönüşür. Gaz fazında elektronlar gâyet hızlı hareket ederler. Eğer gaz halinden sonra da ısı verilmeye devam edilirse iyonlaşma başlayabilir, bir elektron çekirdek çekiminden kurtulur ve serbest bir elektron uzayı meydana getirerek maddeye yeni bir şekil kazandırır. Atom bir elektronu eksilmiş ve net bir pozitif yüke sahip olmuş olacaktır. Yeterince ısıtılmış gaz içinde iyonlaşma defalarca tekrarlanır ve serbest elektron ve iyon bulutları oluşmaya başlar. Fakat bazı atomlar nötr kalmaya devam eder. Oluşan bu iyon, elektron ve nötr atom karışımı, plazma olarak adlandırılır. 

İyonize olma durumu, en az bir elektronun atom ya da molekülden ayrıldığı anlamına gelir. Serbest elektrik yükü sâyesinde plazma yüksek bir elektrik iletkenliğine kavuşur ve elektromanyetik alanlardan kolaylıkla etkilenir. Atmosferin üstünde, manyetosferde, özellikle kutuplara yakın bölgelerde görülen auroralar, güneş rüzgarından kaynaklanan yüklü parçacıklarla çarpışan oksijen atomlarının iyonize olması ile oluşurlar ve enfes görüntüler verirler. 

Evren'de madde dört halde bulunur. Bunlar katı, sıvı, gaz ve plazma halidir. Mikroskobik açıdan plazma, sürekli hareket eden ve etkileşen yüklü parçacıklar topluluğu olarak ifade edilir. Plazma içinde nötr atom ya da moleküllerin olması plazma halini değiştirmez. Kimyasal reaksiyonları oldukça hızlıdır. Çünkü plazma maddenin en sıcak halidir ve elektronların çekirdek ile olan bağları zayıftır. 

Plazmalar soğuk ve sıcak plazmalar olarak ayrılabilir. Yıldızlar sıcak plazmaya örnekken florasan soğuk bir plazmadır. CH0PPER adlı bilim insanı bu konuda oldukça fazla araştırma yaparak sıcak ve soğuk plazma örneklerini çoğaltmıştır. 

Read more

Gaz Halindeki Maddeler Nelerdir? Özellikleri

GAZ MADDE: 
Maddenin 4 halinden biridir.(katı,sıvı,gaz ve plazma) Bu haldeyken maddenin yoğunluğu çok az, akışkanlığı son derece fazladır. Gaz halindeki maddelerin belirli bir şekli ve hacmi yoktur.Katı bir madde ısıtıldığı zaman, katı halden sıvı, sıvı halden de gaz haline geçer. Bu duruma faz (safha) değişikliği denir. Sıvıyı meydana getiren tanecikler (atom veya moleküller) birbirlerini çeker. Sıvı ısıtıldığı zaman, tanecikler arasındaki çekim kuvveti yenilir ve tanecikler sıvı fazdan (ortamdan) ayrılarak gaz haline dönüşürler. Gazı meydana getiren tanecikler her yönde hareket edebilir ve bulundukları kabın hacmini alırlar. Gazlar birbiriyle her oranda karışabilir.Gazların birbiri ile oluşturdukları karışımlar homojendir. Hacimleri, dolayısıyla yoğunlukları basınç ve sıcaklığa tabidir. Genellikle gazın basınç veya sıcaklığının az miktarda değişmesi, gazın hacminde çok büyük değişiklikler meydana getirir. Bütün gazların genişleme ve sıkışma katsayıları aynıdır. Fakat sıvı ve katıların böyle bir özelliği yoktur. Bu yüzdendir ki, gazlar, katı ve sıvılardan daha kolay incelenir. Hareket halindeki gaz moleküllerinin (taneciklerinin), bulunduğu kabın cidarına (duvarına) çarpması sonucu meydana gelen etkiye, gazın basıncı denir. Bir silindir içindeki gaz, piston ile sıkıştırılırsa pistonun geri itildiği, ilk haline döndürülmek istendiği görülür ki, bu yukarıdaki olayın sonucudur. Pistonu ittirmek için yapılan iş, gazın basıncına karşı yapılan iştir. İzole halde yani çevreden yalıtılmış bir gaz, sıkıştırılınca ısınır. Sıkıştırılmış gaz genişletilirse soğur, yani yine bir iş yapar ve gaz moleküllerinin ortalama hızları düşer. Böylece basınç da azalmış olur. 

Read more

Fonksiyonlarda Tanım Kümesi Nedir? Konu Anlatımı , Ders Notları

Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;

2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.

	f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1’den fazla değeri olduğu için fonksiyon değildir.
	Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon değildir. f(2) = tanımsız.
	Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur.

A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.
A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A B şeklinde gösterilebilir.
x  A ve y B olmak üzere f : x y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun

Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.


Örnek 2: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :

Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :
f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan
f (A) = {3,4,5} olur.
Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :


Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:

Çözüm :
f(-1) = 2 ;
f (0) = 1 ;
f( 1) = 2 ;
f( 2) = 5 olduğuna göre :
f(A) = {1,2,5} olur.
Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :


Örnek 4 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.
Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }


Örnek 5 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

Çözüm :
Tanım kümesi = [-1,7] ;
Değer kümesi = [-5,8] ;
Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.


Örnek 6 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?

Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.
Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.


Örnek 7: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur?

Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4,) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.
Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4,) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.


FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. İçine fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok) ise bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 8 :


2. Örten fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var) ise bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 9 :



3. Bire-bir (1-1) fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 10 :

4. Sabit fonksiyon :
Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 11 :


5. Birim fonksiyon :
Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 12:


Örnek 13 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.


Örnek 14: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.
x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.


Örnek 15: Aşağıdaki f : R [-4,) ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.


Örnek 16: Aşağıdaki f : R R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.


Örnek 17 : Aşağıdaki f : R R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.


Örnek 18 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :
1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;
2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;
3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).
Örnek 19 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da
olur.


Örnek 20 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?

Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.
Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.


Örnek 21 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?
Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.


6. Permütasyon fonksiyonu:
Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.

Örnek 22 :

s(A) = a olmak üzere :
A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.


Örnek 23 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan
geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.


Örnek 24 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?

Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan değildir.


Örnek 25 : Aşağıda grafiği verilen f : A B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .

Çözüm : f (1) = 3 ;
f (2) = 1 ;
f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu
şeklinde yazılabilir.

7. Tek ve çift fonksiyonlar :
Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle
başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x -x3)
= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx
= f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni
hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.

Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.
Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.

8. Periyodik fonksiyonlar:
Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.
Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.
Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda
f(x+t) = f(x) ( x+t) - x = t olur.

Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.
Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve
( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır
( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5)
buradan t = 5/2 bulunur.
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise
f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.

9. Trigonometrik fonksiyonlardan
sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;
tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise ‘dir.
Örnek 33 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan ‘ dir.

Örnek 34 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak buluruz.
Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;
sin 8x fonksiyonunun periyodu ve
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur.

Örnek 35 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan
olur.
Bu nedenle olur.
f(x) fonksiyonu da
olacağından periyodu da bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise ,
k sayısı tek ise ;
tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları
k sayısı ne olursa olsun ‘dır.
Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .

FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ:
f (x) ve g (x) fonksiyonları için
h (x) = ( f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

Read more