Coğrafi Konum Nedir ? Özellikleri Konu Anlatımı – Ders Notları

Herhangi bir yerin Dünya üzerinde bulunduğu alana coğrafi konum denir.

A. ÖZEL KONUM

Herhangi bir yeri diğer yerlerden ayıran, sahip olduğu kendine has özelliklerin tümüne özel konum denir. Özel konum, insanları, çevreyi, ülkelerin ekonomik ve politik durumunu çok yönlü etkiler. Dünya üzerinde, özel konum etkisine şu örnekler verilebilir:

• Norveç, Japonya, İngiltere, İzlanda gibi deniz ve okyanuslara komşu ülkeler balıkçılıkta ileri gitmişlerdir.
• Kuzeybatı Avrupa kıyıları, yüksek enlemlerde bulunmasına rağmen, Gulf – Stream sıcak su akıntısının etkisiyle ılıman bir iklime sahip olmuştur.
• Orta Asya ve Orta Avrupa denizlere uzak olduğu için karasal bir iklime sahip olmuştur.
• Kanarya, Havai, Kıbrıs, vb. adalar, deniz ve hava yollarının gelişmesiyle ikmal ve uğrak yeri haline gelmişlerdir. Buna bağlı olarak bu adaların önemi artmıştır.

Türkiye’nin Özel Konumu ve Sonuçları

• Türkiye, Asya, Avrupa ve Afrika kıtalarının birbirine en çok yaklaştığı yerde bulunur.
• Farklı kültürlerin kurulduğu, Dünya’nın en eski kültür hazinelerine sahiptir.
• Dünya’da en fazla petrol çıkaran ülkelere komşudur.
• Üç tarafı denizlerle çevrilidir ve yeryüzü şekilleri çeşitlidir.
• Karadeniz’i Akdeniz’e bağlayan İstanbul ve Çanakkale boğazlarına sahiptir.
• Türkiye’nin ortalama yükseltisi fazladır. (Yaklaşık 1132 m)
• Yükselti batıdan doğuya doğru gidildikçe artmaktadır.
• Zengin yeraltı kaynaklarına sahiptir.

B. MATEMATİK KONUM

Herhangi bir yerin, Dünya üzerinde bulunduğu alanın, enlem ve boylam dereceleriyle belirtilmesine matematik konum denir.

PARALEL (ENLEM)

Ekvator’a paralel olarak çizildiği varsayılan hayali çemberlere paralel denir.

Paralel çemberlerinin, Başlangıç paraleline (Ekvator) olan uzaklığının açı cinsinden değerine ise enlem denir. Enlem ve paralel birbirlerinin yerine kullanılırlar.

Paralellerin Özellikleri

• Ekvator’un 90 kuzeyinde, 90 da güneyinde olmak üzere, toplam 180 paralel bulunur.
• Başlangıç paraleli Ekvator’dur.
• En büyük paralel dairesi Ekvator’dur.
• Ekvator’dan kutuplara doğru gidildikçe paralellerin boyları kısalır. Buna karşılık paralel numaraları büyür.
• İki paralel arası uzaklığa bir enlem derecesi denir. Matematik konumu daha ayrıntılı olarak belirleyebilmek için, her paralel dairesi 60 dakikaya, her dakika 60 saniyeye bölünmüştür.
• 90° paralelleri nokta halindedir.
• Paraleller birbirleriyle kesişmezler, birleşmezler.
• Paraleller doğu – batı doğrultusunda uzanırlar.
• Ekvator ile dönenceler arasında kalan enlemlere alçak enlemler, dönenceler ile kutup daireleri arasında kalan enlemlere orta enlemler, kutup daireleri ile kutup noktaları arasında kalan enlemlere de yüksek enlemler denir.
• Ardışık iki paralel arası uzaklık yaklaşık olarak 111 km dir. Bu uzaklıktan yararlanarak kuzey güney doğrultusunda ve aynı meridyen üzerinde bulunan iki nokta arasındaki uzunluk hesaplanabilir.

Paraleller arası uzunluk işlemlerinde şu yol takip edilir:

• Aralarında uzaklığı sorulan noktalar arasındaki enlem farkı bulunur. İstenilen merkezlerin her ikisi de aynı yarım kürede ise, numarası büyük paralelden küçük paralel çıkarılır. Farklı yarım küredeler ise paraleller toplanır.
• Bulunan paralel farkı sabit uzaklık olan 111 ile çarpılır.

Enlemin Etkileri

Enlem; iklimi, güneş ışınlarının düşme açısını, sıcaklık dağılışını, denizlerin tuzluluk oranlarını, gece ile gündüz arasındaki zaman farkını, kalıcı kar sınırı yükseltisini, yerleşme ve tarım faaliyetlerinin sınırını, bitki örtüsü çeşitliliğini, toprak çeşidini, akarsu rejimlerini, tarım ürünleri çeşitliliğini, yerleşme biçimini, hayvanların dağılışını, vs. etkiler.

MERİDYEN (BOYLAM)

Bir kutuptan diğer kutba ulaşan, paralelleri dik açıyla kesen hayali yarım çemberlere meridyen denir.

Meridyenlerin, Başlangıç meridyenine (Greenwich) olan uzaklığının açı cinsinden değerine ise boylam denir. Meridyen ve boylam birbirlerinin yerine kullanılırlar.

Meridyenlerin Özellikleri

• Başlangıç meridyeninin 180 doğusunda, 180 de batısında olmak üzere, toplam 360 meridyen vardır.
• Başlangıç meridyeni İngiltere’nin başkentindeki Greenwich istasyonundan geçen meridyendir.
• İki meridyen arası uzaklığa bir boylam derecesi denir. Koordinatlarla bir yeri daha iyi belirleyebilmek için, her meridyen derecesi 60 dakikaya, her dakika 60 saniyeye bölünmüştür.
• Ekvator üzerinde iki meridyen arası uzaklık 111 km dir. Kutuplara doğru gidildikçe bu uzaklık azalır. Türkiye üzerinde ise iki meridyen arası uzaklık, yaklaşık olarak 85 – 86 km dir.
• Bütün meridyenlerin boyları birbirine eşittir.
• Aynı meridyen üzerinde bulunan bütün noktaların (Güneş karşısından aynı anda geçtiklerinden) yerel saatleri aynıdır.
• Meridyen dereceleri Greenwich’ten doğuya ve batıya gidildikçe büyür.
  • Meridyenler kuzey – güney doğrultusunda uzanır.
  • Bütün meridyenler kutuplarda birleşirler.
  • Meridyenler bir paralel boyunca birbirlerinden eşit uzaklıkta bulunurlar.
  • Ardışık iki meridyen arasındaki yerel saat farkı 4 dakikadır.
  Boylamın Etkileri
  Boylamın Dünya üzerindeki en belirgin etkisi, yerel saat farklarını oluşturmaktır.
  YEREL SAAT
  Herhangi bir yerde, Güneş’in en tepede olduğu ana ya da gölge boyunun en kısa olduğu ana öğle vakti denir. Öğle vakti gün ortasıdır ve saat 12.00 olarak kabul edilir. Buna göre ayarlanan saat dilimine yerel saat denir.
  Yerel saat farkları, meridyenlerden faydalanılarak hesaplanabilir. Yerel saat hesaplarını yapabilmek için şunları öğrenmekte fayda vardır:
  • Aynı meridyen üzerinde bulunan bütün noktaların öğle vakitleri aynı anda olur ve yerel saatleri birbirine eşittir.
  • Aynı meridyen üzerinde bulunan noktaların yerel saatleri birbirine eşit olmasına rağmen (21 Mart ve 23 Eylül tarihleri hariç) Güneş’in doğma ve batma saatleri farklıdır. Bunun nedeni, Dünya ekseninin 23° 27′ eğik olmasıdır.
  ORTAK SAAT (ULUSAL SAAT)
  Çalışma hayatında, yerel saatlerin hepsini kullanmak mümkün değildir. Ticari ve ekonomik ilişkilerin kolaylaştırılması, haberleşme ve ulaşım hizmetlerinin hızlı ve düzenli bir şekilde yapılabilmesi için, yerel saatten farklı olarak, ortak saat ya da ulusal saat uygulamasına ihtiyaç duyulmuştur. Bu nedenle her ülkenin, kendisine en uygun meridyenin yerel saatini bütün ülke sınırlarında geçerli hale getirmesiyle oluşan saate ortak saat adı verilmektedir.
  Doğu – batı doğrultusunda geniş olan ülkeler (A.B.D, Kanada, Çin, vb.) aynı anda birden çok ortak saat kullanırlar. Ancak doğu – batı yönünde dar olan ülkeler (Türkiye, İtalya, Bulgaristan, İspanya, vb.) ise aynı anda tek ortak saat kullanırlar.
  Türkiye’de, 1978 yılına kadar, 2. saat diliminde yer alan 30° Doğu meridyeninin yerel saati ortak saat olarak kullanılmıştır. 1978 yılından sonra, güneş ışınlarından daha fazla yararlanarak enerji tasarrufu sağlamak amacıyla, ileri ve geri saat uygulamasına geçilmiştir. Şöyle ki;
  • Yaz döneminde 3. saat dilimine giren 45° Doğu meridyeninin yerel saati esas alınarak ileri saat uygulamasına geçilmiştir.
  • Kış döneminde ise 2. saat dilimine giren 30° Doğu meridyeninin yerel saati esas alınarak geri saat uygulamasına geçilmektedir.
  SAAT DİLİMLERİ (ULUSLAR ARASI SAAT)
  Bilim ve tekniğin hızla gelişmesiyle ülkeler arası ekonomik ve siyasi ilişkilerin artması, buna bağlı olarak iletişimin hızlı olması uluslararası saatin doğmasına yol açmıştır. Bu sebeple saat dilimleri oluşturulmuştur. Dünya üzerinde 24 saat dilimi vardır.
  
  TARİH DEĞİŞTİRME ÇİZGİSİ
  Dünya’nın doğu ve batı yarım kürelerinin uç noktaları arasında bir günlük zaman farkı vardır. Bu nedenle, Başlangıç meridyeninin devamı olan 180° meridyeni, tarih değiştirme çizgisi olarak kabul edilmiştir.
  
  • 180° boylamının batısına doğru gidildiğinde, Doğu Yarım Küre’ye geçildiği için, tarih 1 gün ileridir.
  • 180° boylamının doğusuna doğru gidildiğinde, Batı Yarım Küre’ye geçildiği için, tarih 1 gün geridir.
  TÜRKİYE’NİN MATEMATİK KONUMU VE SONUÇLARI
  Türkiye, 36° – 42° Kuzey paralelleri ile 26° 45° Doğu meridyenleri arasında yer alır. Diğer bir ifadeyle, Türkiye Ekvator’un kuzeyinde ve Greenwich’in doğusunda bulunan bir ülkedir. Türkiye’nin matematik konumunun sonuçları şöylece sıralanabilir:
  • Doğu – batı istikametinde 76 dakika yerel saat farkı bulunur.
  • Aynı anda tek ortak saat kullanılır. Çünkü doğu – batı yönünde fazla geniş değildir.
  • Güneş ışınları hiçbir zaman dik açıyla gelmez.
  • İki meridyen arası uzaklık yaklaşık olarak 85 – 86 km dir.
  • Orta kuşakta yer alır.
  • Mevsimler belirgin olarak görülür.
  • Kışın cephesel yağışlar fazladır.
  • Güneyden kuzeye gidildikçe güneş ışınlarının geliş açısı küçülür.
  • Güneyden kuzeye gidildikçe cisimlerin gölge boyu uzar.
  • Güneyden kuzeye gidildikçe gece – gündüz süreleri arasındaki fark artar.
  • Kuzeyden esen rüzgârlar sıcaklığı düşürürken, güneyden esen rüzgârlar sıcaklığı yükseltir.
  • Dağların güney yamaçları daha sıcaktır. Buna bağlı olarak güney yamaçlarda yerleşmeler fazladır.

Read more

John Dalton Atom Teorisi Nedir? Özellikleri

Atom Teorisi 

Dalton'un atom teorisinin beş ana noktası vardı: 
Elementler, atom denen küçük parçacıklardan oluşmuştur 
Herhangi bir elementin tüm atomları birbirinin aynıdır 
Bir elementin atomları, başka bir elementin atomlarından farklıdır 
Bir elementin atomları, başka bir elementin atomlarıyla birleşerek bileşikler oluşturabilir. Herhangi bir bileşik, farklı elementlerinden hep aynı oranda içerir. 
Atomlar kimyasal bir süreç ile üretilemez, daha küçük parçalara bölünemez ve yok edilemez. Kimyasal reaksiyonlar sadece atomların birbirleriyle nasıl gruplandıklarını değiştirir. 
Ne yazık ki, bunların dışında bir madde daha vardı ve bu madde teorinin kabul görmesini yıllarca engelledi. 

Atomlar birleştiğinde aksine bir sebep yoksa hep bire bir bileşikler oluştururlar Daltonun bu maddeyi destekleyecek kanıtı yoktu ve bu madde yüzünden suyun formülünün OH ve amonyumunkinin NH olduğunu düşünüyordu. Deneysel veriler bu durumla uyuşmadığından teorisi yıllarca kabul görmedi. 

Dalton'un atom teorisine ait maddelerden ikisi dışında hepsi reaksiyon sayılmazlar. Ayrıca "Herhangi bir elementin tüm atomları birbirinin aynıdır" maddesi de elementlerin farklı izotoplarının olması tarafından çürütülmektedir. İzotopların proton sayısı aynıdır fakat nötron sayıları farklıdır.

Read more

Gaz Halindeki Maddeler Nelerdir? Özellikleri

GAZ MADDE: 
Maddenin 4 halinden biridir.(katı,sıvı,gaz ve plazma) Bu haldeyken maddenin yoğunluğu çok az, akışkanlığı son derece fazladır. Gaz halindeki maddelerin belirli bir şekli ve hacmi yoktur.Katı bir madde ısıtıldığı zaman, katı halden sıvı, sıvı halden de gaz haline geçer. Bu duruma faz (safha) değişikliği denir. Sıvıyı meydana getiren tanecikler (atom veya moleküller) birbirlerini çeker. Sıvı ısıtıldığı zaman, tanecikler arasındaki çekim kuvveti yenilir ve tanecikler sıvı fazdan (ortamdan) ayrılarak gaz haline dönüşürler. Gazı meydana getiren tanecikler her yönde hareket edebilir ve bulundukları kabın hacmini alırlar. Gazlar birbiriyle her oranda karışabilir.Gazların birbiri ile oluşturdukları karışımlar homojendir. Hacimleri, dolayısıyla yoğunlukları basınç ve sıcaklığa tabidir. Genellikle gazın basınç veya sıcaklığının az miktarda değişmesi, gazın hacminde çok büyük değişiklikler meydana getirir. Bütün gazların genişleme ve sıkışma katsayıları aynıdır. Fakat sıvı ve katıların böyle bir özelliği yoktur. Bu yüzdendir ki, gazlar, katı ve sıvılardan daha kolay incelenir. Hareket halindeki gaz moleküllerinin (taneciklerinin), bulunduğu kabın cidarına (duvarına) çarpması sonucu meydana gelen etkiye, gazın basıncı denir. Bir silindir içindeki gaz, piston ile sıkıştırılırsa pistonun geri itildiği, ilk haline döndürülmek istendiği görülür ki, bu yukarıdaki olayın sonucudur. Pistonu ittirmek için yapılan iş, gazın basıncına karşı yapılan iştir. İzole halde yani çevreden yalıtılmış bir gaz, sıkıştırılınca ısınır. Sıkıştırılmış gaz genişletilirse soğur, yani yine bir iş yapar ve gaz moleküllerinin ortalama hızları düşer. Böylece basınç da azalmış olur. 

Read more

Fonksiyonlarda Tanım Kümesi Nedir? Konu Anlatımı , Ders Notları

Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;

2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.

	f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1’den fazla değeri olduğu için fonksiyon değildir.
	Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon değildir. f(2) = tanımsız.
	Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur.

A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.
A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A B şeklinde gösterilebilir.
x  A ve y B olmak üzere f : x y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun

Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.


Örnek 2: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :

Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :
f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan
f (A) = {3,4,5} olur.
Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :


Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:

Çözüm :
f(-1) = 2 ;
f (0) = 1 ;
f( 1) = 2 ;
f( 2) = 5 olduğuna göre :
f(A) = {1,2,5} olur.
Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :


Örnek 4 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.
Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }


Örnek 5 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

Çözüm :
Tanım kümesi = [-1,7] ;
Değer kümesi = [-5,8] ;
Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.


Örnek 6 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?

Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.
Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.


Örnek 7: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur?

Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4,) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.
Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4,) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.


FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. İçine fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok) ise bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 8 :


2. Örten fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var) ise bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 9 :



3. Bire-bir (1-1) fonksiyon :
Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 10 :

4. Sabit fonksiyon :
Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 11 :


5. Birim fonksiyon :
Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

Örnek 12:


Örnek 13 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.


Örnek 14: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.
x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.


Örnek 15: Aşağıdaki f : R [-4,) ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.


Örnek 16: Aşağıdaki f : R R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.


Örnek 17 : Aşağıdaki f : R R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.


Örnek 18 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :
1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;
2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;
3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).
Örnek 19 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da
olur.


Örnek 20 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?

Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.
Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.


Örnek 21 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?
Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.


6. Permütasyon fonksiyonu:
Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.

Örnek 22 :

s(A) = a olmak üzere :
A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.


Örnek 23 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan
geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.


Örnek 24 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?

Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan değildir.


Örnek 25 : Aşağıda grafiği verilen f : A B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .

Çözüm : f (1) = 3 ;
f (2) = 1 ;
f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu
şeklinde yazılabilir.

7. Tek ve çift fonksiyonlar :
Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle
başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x -x3)
= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx
= f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni
hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.

Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.
Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.

8. Periyodik fonksiyonlar:
Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.
Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.
Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda
f(x+t) = f(x) ( x+t) - x = t olur.

Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.
Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve
( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır
( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5)
buradan t = 5/2 bulunur.
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise
f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.

9. Trigonometrik fonksiyonlardan
sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;
tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise ‘dir.
Örnek 33 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan ‘ dir.

Örnek 34 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak buluruz.
Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;
sin 8x fonksiyonunun periyodu ve
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur.

Örnek 35 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan
olur.
Bu nedenle olur.
f(x) fonksiyonu da
olacağından periyodu da bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise ,
k sayısı tek ise ;
tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları
k sayısı ne olursa olsun ‘dır.
Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .

FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ:
f (x) ve g (x) fonksiyonları için
h (x) = ( f + g) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

Read more