Bileşke Nedir? Bileşke Özellikleri ve Fonksiyonları Nelerdir? Konu Anlatımı Ve Örnek Sorular

Bileşke Kavramı

Bileşke fonksiyonuna, fonksiyon fonksiyonu da denir.

FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ

Tanım (FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ)

olmak üzere tanımlanan   fonksiyona f ve g fonksiyonların bileşkesi denir ve    veya kısaca   biçiminde gösterilir ve g bileşke f diye okunur.

Örnek 1:

 fonksiyonları için  fonksiyonlarını bulunuz.

Yanıt 1:

 ayrı  ayrı  bulmak gerekir.

  hesaplanırken   fonksiyonu   fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

 hesaplanırken   fonksiyonu  fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

Örnek 2:

   fonksiyonları için  fonksiyonlarını bulunuz.

Yanıt 2:

 ayrı  ayrı  bulmak gerekir.

  hesaplanırken   fonksiyonu   fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

 hesaplanırken   fonksiyonu  fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

Örnek 3:

  fonksiyonları için  fonksiyonlarını bulunuz.

Yanıt 3:

 ayrı  ayrı  bulmak gerekir.

  hesaplanırken   fonksiyonu   fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

 hesaplanırken   fonksiyonu  fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

Örnek 4:

 fonksiyonları için  fonksiyonlarını bulunuz.

Yanıt 4:

 ayrı  ayrı  bulmak gerekir.

 hesaplanırken   değeri  fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

  hesaplanırken   değeri   fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

Örnek 5:

  fonksiyonları için  fonksiyonlarını bulunuz.

Yanıt 5:

 ayrı  ayrı  bulmak gerekir.

  hesaplanırken  değeri   fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

  hesaplanırken  değeri  fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır.

Örnek 6:

Yanıt 6:

Bileşke fonksiyon bulunursa:

BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON

Tanım (BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON)

Fonksiyonuna birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon denir. Birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon, özel olarak   biçiminde gösterilir.

Örnek 1:

  fonksiyonunun şemasını çiziniz.

Yanıt 1:

Tanım ve görüntü kümeleri dır.

Tanım kümesi için gereken görüntü kümesinin elemanları:

 değerleri elde edilir.

Örnek 2:

   fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a, b ve c ne olmalıdır?

Yanıt 2:

fonksiyonu birim fonksiyon olduğundan   için eşitlik yazılırsa   olacaktır.

Bu durumda   olmalıdır.

Örnek 3:

   fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a, b ve c ne olmalıdır?

Yanıt 3:

fonksiyonu birim fonksiyon olduğundan   için eşitlik yazılırsa    olacaktır. Bu durumda    olacağından    olacaktır.

FONKSİYONUN TERSİ

Tanım (FONKSİYONUN TERSİ)

 bire bir ve örten fonksiyonlar olmak üzere   eşitliği sağlanıyorsa f ve g fonksiyonlarına birbirlerinin tersi denir. g fonksiyonuna, f fonksiyonunun tersi denir ve   biçiminde gösterilir.

Örnek 1:

   fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 1:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa  eşitliğinden yararlanırsak:

Örnek 2:

   fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 2:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa   eşitliğinden yararlanırsak:

Örnek 3:

fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 3:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa   eşitliğinden yararlanırsak:

Örnek 4:

fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 4:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa   eşitliğinden yararlanırsak:

Örnek 5:

fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 5:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa   eşitliğinden yararlanırsak:

Örnek 6:

fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 6:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa   eşitliğinden yararlanırsak:

Kural:

Örnek 7:

fonksiyonunun tersini bulunuz.

Yanıt 7:

Kural uygulanırsa f fonksiyonunun tersi

Örnek 8:

değerini bulunuz.

Yanıt 8:

Fonksiyonun tersi   olarak alınırsa   eşitliğinden yararlanırsak:

Örnek 9:

değerini bulunuz.

Yanıt 9:

Kural uygulanırsa f fonksiyonunun tersi

bulunur.

BİLEŞKE FONKSİYONUN ÖZELİKLERİ

Bileşke fonksiyonunun özelikleri:

DEĞİŞME ÖZELİĞİ

Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

Örnek 1:

   fonksiyonları için   olduğunu gösteriniz.

Yanıt 1:

Örnek 2:

  fonksiyonları için    olduğunu gösteriniz.

Yanıt 2:

olduğundan  eşitliğinin doğru olması değişme özeliğinin olduğunu göstermez. Genel olarak, bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

BİRLEŞME ÖZELİĞİ

Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)

 fonksiyonları için   dir. Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

Örnek 1:

 fonksiyonları için

Yanıt 1:

Sorunun a ve b parçalarına bakıldığında sonuçların eşit olduğu görülecektir. Böylece bileşke işleminin birleşme özeliği olduğu görülür.

Örnek 2:

 olduğuna göre   değerini bulunuz.

Yanıt 2:

Örnek 3:

 olduğuna göre   ve   değerlerini bulunuz.

Yanıt 3:

Örnek 4:

Yanıt 4:

Örnek 5:

Yanıt 5:

Bileşke fonksiyon bulunursa

BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON ÖZELİĞİ

Tanım (BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON ÖZELİĞİ)

olmak üzere fonksiyonuna birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon denir. Bileşke işleminin, birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon özeliği vardır.

Örnek 1:

fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için d, e ve f ne olmalıdır?

Yanıt 1:

Birim fonksiyon  olduğundan

Örnek 2:

 nedir?

Yanıt 2:

Bileşke fonksiyon

BİLEŞKE İÇİN   ÖZELLİĞİ

Örnek 1:

 değerini bulunuz.

Yanıt 1:

Bileşke fonksiyon   ve bundan   değeri hesaplanırsa

Örnek 2:

Yanıt 2:

Bileşke fonksiyonlar   bulunursa

BİLEŞKE İÇİN  ÖZELLİĞİ

Örnek 1:     için   bulunuz.

Yanıt 1:

Bu da   olduğunu gösterir.

Örnek 2:

Yanıt 2:

Bu da   olduğunu gösterir.

BİLEŞKE İÇİN   ÖZELLİĞİ

Örnek 1:

Yanıt 1:

Örnek 2:

Yanıt 2:

BİLEŞKE İÇİN   ÖZELLİĞİ

Örnek 1:

Yanıt 1: