TABAN ARİTMETİĞİ, TABANDAN BAŞKA BİR TABANA ÇEVİRME, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)
1) Herhangi Bir Tabandaki Sayıyı Onluk Tabana Çevirmek:
Herhangi bir tabandaki sayıyı 10'luk tabana çevirirken, sayı ait olduğu tabana göre çözümlenir.
Taban 1 'den büyük doğal sayıdır.
Örnek
(214) 5 = 2.52 + 1.51 + 4.5° = 59 şeklinde çevrilir.
Örnek
(231) a = 45 ise, a kaçtır?
Çözüm
(231 ) a = 45 -> 2. a2 + 3.a + 1 =45
2 a2 + 3a - 44 = 0
(2a+ 11) (a-4) = 0
2Taban 1 'den büyük doğal sayı olacağından
a = 4 tür.
Örnek
(4x5) 6 = 167 ise x kaçtır?
Çözüm
4.66 + x.6 + 5.6° =167
144 + 6x + 5 = 167
6x =167-149
6x = 18 x = 3 olur.
2) Onluk Tabandan Başka Bir Tabana Çevirmek
Onluk tabandan başka bir tabana çevrilirken sayı o tabana bölünür. Eğer bölüm tabandan büyük ise bu işleme tabandan küçük olana kadar devam edilir. Sonra sırası ile en son bölümden itibaren sondan başa doğru kalan rakamlar yazılır.
Mesela,
103 sayısı 7 lik tabanda
Örnek
62 sayısının 4 lük tabandaki karşılığı nedir?
A) (302) 4 B) (313) 4 C) (332) 4
D) (301) 4 E) (303) 4
Çözüm
Örnek
41 sayısının ikilik tabandaki karşılığı nedir?
A) (101001) 2 B) (101101) 2 C) (101010) 2
D) (101011) 2 E) (101100) 2
Çözüm
Örnek
2 ve 5 sayı tabanı olmak üzere,
(2a) 5 = (1011) 2 olduğuna göre a kaçtır? (1995/1)
A) O B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm
(2a) 5 =(1011) 2 Þ a + 2.51 = 1 + 1.21 + 0.22+1.23
Þ a + 10 = 1+2 + B
Þ a + 10 = 11
Þ a = 1
Cevap : B'dir.
3) Aynı Tabandaki Sayılarda Dört İşlem:
Herhangi bir tabanda toplama, çıkarma ve çarpma 10'luk sisteme benzer şekilde yapılır. Bunları örneklerle gösterelim.
Örnek
(312) 5 + (434) 5 toplamı 5 tabanında neye eşittir?
Çözüm
Bu işlemi;
2 + 4 = 6 içinden bir 5 çıkartırsak kalan 1, elde de 1, sonra 5 ler basamağındaki 1+3 = 4 topladık elde 1 i ilave edersek 5 yine 5 çıkartırsak kalan 0, elde 1 olur.
Daha sonra 25 ler basamağındaki 3 + 4 = 7 topladık ve elde 1 i eklersek 8 olur. Yine 5 ten büyük olduğundan 5 çıkartırsak kalan 3 ve elde 1 kalır, işlem tamamlanır.
Örnek
(43) 5 - (14) 5 işleminin sonucu beş tabanında nedir?
Çözüm
3 den 4 çıkartılacağından beşler basamağındaki 4 sayısından 1 beşlik alınır ve 3 e eklenir.
5 + 3 = 8 ve 8-4 = 4 olur.
Beşler basamağından 3 kalmıştır. 3-1=2 olur. İşlem biter.
Örnek
2 sayı tabanını göstermek üzere, (110) 2-(11) 2 farkı 2 tabanına göre kaçtır? (1 993/I)
A) 1010 B) 101 C) 11 D) 10 E) 1
Çözüm
0 dan 1 çıkartılacağından 2'ler basamağındaki 1 den 1 ikilik alınır.
2-1 = 1 ve 2'ler basamağında O kalır. Tekrar 22 basamağından bir ikilik alınır.
2-1=1 Cevap C'dir.
Örnek
(43) x (31 ) 5 çarpma işleminin sonucu beş tabanında neye eşittir?
Çözüm
1.3 = 3 ve 1.4 = 4 yazılır.
3.3 = 9 ve 9-5 = 4 kalan 4 ve elde var 1
3.4 = 12 eldeki 1 ile 13 olur.
13'ün içinde 2 tane 5 olduğundan 13 - 2.5 = 3 kalan ve elde 2 olur.
Toplama daha önceki örnekteki gibi yapılır.
Örnek
(52) 6 x (43) 6 + (354) 6 işleminin 6 tabanındaki eşiti nedir?
Çözüm
Önce çarpma işlemi yapılır. Çıkan sonuç ile (354) 6 sayısı toplanır.
Bölme işlemi: Herhangi bir tabandaki sayı önce 10 luk tabana çevrilip sonra işlem yapılır. Daha sonra ise istenilen tabana çevrilerek sonuç bulunur. Bölme işleminde bu yöntemi kullanmak daha iyidir.
Çözümlü Sorular
1. a, b , c pozitif tamsayılardır, a.b = 4, a.c = 12 ise a + b + c toplamının en küçük değeri nedir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 17
Çözüm
a.b = 4 ve a.c = 12 olduğunda
a = 4, b = 1, c = 3 için a + b + c en küçük olur.
a+b+c=4+1+3=8
Cevap: B'dir.
2. a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere,
ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
Çözüm
Her sayı 3 ile çarpılırsa 3a, 3b, 3c olur. Bu ise,
Cevap: D'dir.
3. Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13 katından 7 fazladır.
Buna göre BA sayısı kaçtır?
A) 19 B) 25 C) 27 D) 29 E) 32
Çözüm
4AB = 13.(BA) + 7
400 + 10A + B = 13 (10B + A) + 7
400 + 10A + B = 130B + 13A + 7
393 = 129B + 3A olur.
Bu eşitlik A = 2, B = 3 için sağlanır.
O halde BA = 32 olur.
Cevap: E'dir.
4. Birbirinden farklı iki basamaklı pozitif dört tamsayının toplamı 326 dır. Bu sayılardan en büyüğü 98 olduğuna göre, en küçüğü en az kaçtır?
A) 36 B) 35 C) 33 D) 32 E) 30
Çözüm
En küçük, en az olan sayıyı bulmak için diğer üç sayıyı en büyük seçmek gerekir.
En büyük sayı 98 ise diğer ikisi farklı olacağından 97 ve 96 olur. 98 + 97 + 96 = 291 toplamdan çıkarırsak 326 - 291 = 35 bulunur.
Cevap: B'dir.
5. a, b, c birer doğal sayı ve 2a = 3b, a + c = 2b ise
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Çözüm
Cevap : E ‘dir.
6.
olduğuna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 33 B) 29 C) 26 D) 20 E) 15
Çözüm
a Î Z+ olması için b nin 8 in bölenleri olması gerekir.
b = 8 için a = 11
b = 4 için a = 10
b = 2 için a = 8
b = 1 için a = 4 dür.
a'nın alacağı değerler toplamı ise
11 +10 + 8 + 4 = 33 olur.
Cevap: A'dır.
7. a, b, c çift sayılar olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?
Çözüm
a, b, c çift (4) ise,
Cevap: C'dir.
8. Rakamları farklı üç basamaklı en büyük pozitif tamsayı ile rakamları farklı üç basamaklı üç basamaklı en küçük pozitif tamsayının farkı kaçtır?
A) 774 B) 855 C) 885 D) 895 E) 989
Çözüm
En büyük: 987
En küçük: 102
987-102 = 885
Cevap: C'dir.
9. x ve y birer pozitif tamsayı olmak üzere,
x > 3 ve 2x + 3y = 96 ise y'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 29 B) 28 C) 26 D) 23 E) 22
Çözüm
3 Cevap: B'dir.
10. a bir tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?
A)a-1 B) a2 + 1 C)a2 + a
D) a2 - 2a + 1 E) a3
Çözüm
C seçeneğindeki a2,+ a = a.(a + 1) ardışık iki sayının çarpımı olduğundan kesinlikle çift sayıdır.
Cevap: C'dir.
11. a, b pozitif tamsayılar ve — + b = 8 olduğuna göre
4 a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 36
Çözüm
ise a = 4.(8-b) = 32 - 4b olur.
b = 1 yazarsak a en büyük olur.
a = 32 - 4.1 = 28 dir.
Cevap: D'dir.
12. 10 ve m sayı tabanını göstermek üzere; (97) 10 = (241) m olduğuna göre m kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
Çözüm
(241) m = 2.m2 + 4.m + 1
2m2 + 4m + 1 = 97
2m2 + 4m = 96
m2 + 2m = 48
m.(m+2) = 48
m = 6 olur.
Cevap: D'dir.
13. 4 sayı tabanını göstermek üzere; (213) 4 x (23) 4 çarpma işleminin sonucu 4 tabanına göre kaçtır?
A) 13231 B) 13221 C)13213
D)12321 E) 12231
Çözüm
Cevap: E'dir.
14. 2 ve 5 sayı tabanını göstermek üzere; (2a) 5 = (1011) 2 olduğuna göre a kaçtır?
A) 0 B)1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm
(2a) 5 = 2.5 + a = 10 + a
(1011) 2 = 1.33 + 0.22 + 1.2 + 1 = 11
10 + a = 11 ise a = 1 olur.
Cevap : B'dir.
15. 84 doğal sayısı 4 tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
A) 4 B) 5 C) 6 0)7 E) 8
Çözüm
84 = (23) 4 = 212 = (22)6 = 46 dır.
46 = 1.46 + 0.45 + 0.44 + 0.43 + 0.42 + 0.41 + O
= (1000000) 4
olduğundan 46 sayısı 7 basamaklıdır.
Cevap: D'dir.
16. (12,12) 5 sayısının 10 luk tabandaki eşiti aşağıda-kilerden hangisidir?
A) 7,42 B) 7,28 C) 6,32 D) 6,28 E) 5,42
Çözüm
Cevap: B şıkkıdır.
