Sayı Basamakları, Basamak Değerleri Konu Anlatım, Örnekler

Basamak:

Bir sayıda rakamların yazıldığı yerdir.

Basamak Değeri:

Rakamların bulunduğu basamak ile çarpılması ile elde edilen değerdir.

Sayı Değeri:

Her basamaktaki rakamın bulunduğu basamağa bağlı olmadan gösterdiği değere denir.

Örnek

581 7 sayısındaki rakamların sayı ve basamak değerlerini bulunuz.

Sayı Değerleri

Basamak Değeri

Çözümleme:

Bir sayının çözümlenmesi basamak değerlerinin toplanması ile bulunur.

Örnek

13045 sayısını çözümleyiniz. 1 3045

13045 = 1.10⁴ + 3.10³ + 0.10² + 4.10¹ + 5.1    dir.

Örneğin; iki basamaklı ab, sayısının, üç basamaklı abc sayısının, dört basamaklı ₄abcd sayısının çözümlenmesi aşağıdaki şekildedir.

ab = 10a + b

abc = 100a + 10b + c

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Örnekler

1. ab ve ba iki basamaklı sayılardır.

ab - ba = 63 ise   a - b   kaçtır?

Çözüm

2. Üç basamaklı aaa ve bbb sayılarının toplamı 1443 ise a + b toplamı kaçtır?

Çözüm

aaa + bbb = 1443

(100a + 10a + a) + (100b + 10b + b) = 1443 111a + 111b =1443

111(a+b) =1443

a + b = 13   tür.

3. Rakamları toplamı 11 olan iki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirirse bu iki basamaklı sayı 63 küçülüyor. Bu sayı kaçtır?

Çözüm

a+b =11

ab = ba + 63        => ab - ba = 63

-(10a + b)-(10b + a) = 63

- 9(a-b) = 63

- a- b = 7

a + b=11

a-b = 7

2a = 18

a = 9    => 9 + b=11 b = 2 olur.

Bu sayı 92 dir.

Read more

1. Murat'ın ( Murat Hüdavendigar) Hayatı, Özellikleri

Babası . Orhan Gazi

Annesi . Nilüfer Hatun

Dogumu : 1326

Vefatı . 1389

Saltanatı : 1359 - 1389 (30) sene

Sultan Murad uzun boylu, degirmi yüzlü,iri burunlu idi. Kalın ve adaleli bir vücuda sahipti.Başına mevlevi sikkesi üzerine yuvarlak testar sarılı bir başlık giyerdi. Çok sade giyinir ve kirmızı zeminli beyaz e1biseden hoşlanırdı. Gayet nazik, sevimli, çok halim ve selimdi. Âlim ve sanatkârlara hürmet gösterir, fakirlere ve kimsesizlere büyük bir şefkatle muamele ederdi.Halk tarafından "Gazi Hünkâr" diye anılır ve bir baba olarak sevilirdi.Terbiyesi ile annesi Nilüfer Hatun meşgul oldu: Gençliğini Bursa'da medreselerde, ilim ve sarfat adamları ile geçirdi. Bütün hayatı sınır boylarında ve harp meydanlarında geçmiştir. Hiç durmadan Rumeli'den Ana'dolu'ya, Anadolu'dan Rumeli'ye seferler yapmıştır. Bu kadar harp meşguliyetleri arasında, büyük ve kıymetli binalar, sanat eserleri meydana getirmeye de vakit bulmuştur. Bursa'da camiler, medreseler ve imarethaneler yaptırmıştır. Edirne'yi ilk defa O, hükümet merkezi yapmıştır. İlk Edirne sarayı da kendisi bina ettirmiştir.Orhan Gazi'nin vefatında 95.000 km. Kare olan toprakların genişligini 500.000 km. Kareye çıkardı.

-Zamanında alınan yerler :1362'de Edirne, 1363'de eski Zağra ve Filibe fethedildi. 1364'dE Sırpsındığı zaferi kazanıldı ve HaClılar perişan edildi. 1365'de Kara Biga Osmanlı topraklarına katıldı. 1369'da Hayrabolu, Kırklareli, Pınarhisar ve Vize alındı. 1370'de Bulgar Krallığı Osmanlılara tâbi oldu. Bir müddet sonra da Çamurlu savay kazanıldı. 1371'de Çirmen zaferi elde edildi, Haçlılar bir defa daha yenildiler. 1372'de Çatalca Bizans'tan alındı. 1374'de Sırbistan Osmanlilara tâbi oldu. 1375'de Niş fethedildi. 1378'de Kütahya Vilâyeti Osmanlı topraklarına katıldı.1382'de , Sofya fethedildi. 1383'de Candaroğulları Osmanlılara tâbi oldu. 1385'de Arnavutlukun kuzeyi tamamen alındı,. 1386'da Karamanlılarla harp yapıldı., 1388'de Silistre, Ziştovi, Niğbolu, Plevne, Lofça, Deliorman ve Dobruca Türk hakimiyeti altına alındı. 1389'da Haçlılar bir defa daha perişan edildiler ve İslâm ordusunun yigitlikeri sonunda Kosova Meydan Muharebesi kazanıldı. Ne yazık ki bu şanlı zafer çok büyük bir acı ile neticelendi. Bütün gazileri derin bir matem içinde bıraktı. Şöyle ki;bu zafer sonunda yaralıların büyük bir kısmı düşman askerleri idi. Yerdekiler arasında tek türk Türk şehidi de vardı. Sultan Murad her şehidin önüne geldiği vakit büyük bir üzüntü ile "İnna lillâhi ve inna ileyhi râciün" diyor ve şehidin derhal kaldırılarak defnedilmesini emrediyordu. Yaralı blr Türk'ün yanına geldigi zaman, onu okşuyor, yarasının acıyıp acımadığını ve bir arzusu olup olmadığını soruyordu.Böylece dolaşırken biraz uzakta ölüler arasında bir kımıldama oldu. Sultan Murad o tarafa döndü. Ölüler arasından, dev gibi uzun boylu bir Sırplının kalktığı görüldü. Miloş ismindeki bu Sırplı (Kral Lazar'ın damadı) yerden kalkarak Padişaha doğru gelmeye başladı. Padişahın muhafızları ise, Sırplı'yı derhal yakaladılar.Fakat Sırpli, padişahı mutlaka görmek istiyordu ve : "Beni bırakınız, korkmanıza lüzum yok.  Ben Padişahın elini öpmeye ve hem de müslüman olmaya geldim. Ayrıca size bir de müjdem var. Kral Lazar yakalandı, bakınız getiriyorlar" dedi. Padişah onun sözlerini işitmişti.İşaret ederek bırakmalarını söyledi. Muhafızlar da Kralın tutulduğu tarafa bakarlarken, yaralı taklidi yapan hain Sırplı, Padişaha yaklaştı, elini öpecekmiş gibi eğildi, bir anda ve yıldırım sürati ile koltuğunun altında sakladığı hançerini çekerek, Gazi Hünkâr'ın mübarek göğüs ve karnına sapladı. Muhafızlar neye uğradıklarını anlayamadılar. Katil kaçmaya başladı. Sonra muhafızlar kafiri yakalayarak parça .parça ettiler.

Hünkâr'ın son sözleri şunlardı : "İslâmın muzafferiyeti, benim şehit olmama bağlı ise,şehadet şerbetini nasip buyurmasını Cenab-ı Hak'tan dua ve niyaz etmiştim. Duam kabul buyuruldu. Hazreti Allah'a hamd ve sena olsun ki, İslâm askerinin zaferini gördükten sonra hayatım sona ermektedir. Oğlum Bayazid'e biat ediniz. Sakın esirleri incitmeyiniz. Mal ve canlarına tecavüz etmeyiniz. Ben artık sizleri ve muzaffer ordumuzu Cenab-ı Hakk'a emanet ediyorum. Mevla devletimizi bütün fenalıklardan korusun!" diyerek ebediyyete intikal etti.

Sultan Murad'ın hançerle parçalanan barsakları, şehit olduğu yere bir türbe yapılarak gömüldü. ,Cesedi ise Bursa'ya nakledilerek Çekirge'deki türbesine defnedildi.Silsile-i Sadât-ı Nakşibendiyye'den Hâce Seyyid Emir Kilâl (k.s.) Hazretleri, Muğnullebib isimli eserin sahibi ve topun mucidi olarak bilinen Cemaleddin Abdullah Efendi, Buhari'nin şârihi Semseddin Kirmani, Birinci Murad zamanında vefat etmişlerdir.İlk kazasker tayinleri, tımar kanunu ve minarelerden salatu selâm okuma adetleri bu devirde başlamıştır.

Erkek çocukları: Yakub Çelebi, Yıldırım Beyazid, Savcı Bey ve İbrahim.

Kız çocukları: Nefise ve Sultan Hatun.

Read more

Üslü Sayılar, Konu Anlatım, Sorular ve Cevaplar

Üs Kavramı:

(a)          reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere; a^m  ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.

a^m = a . a . a...a şeklinde gösterilir.

Örnekler:

2³ = 2 . 2 . 2 =8

5² = 5 . 5 = 25

Özellikler:

·    Sıfırdan farklı bir sayını sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.

a^m = a⁰ = 1

Örnekler:  3⁰ = 1

·    Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

a^m = a¹ = a

Örnekler:  2¹ = 2

·    Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı kuvvetleri alınır.

( a )^m = a^m

b         b^m

Örnekler: ( 2 )⁵ = 2⁵ = 32

3         3⁵    243

·    Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Örnekler: ( 2³)² = 2^{3 . 2} = 2⁶ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

·    a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;

a^-m = 1

a^m

Örnekler:  2³  = 1   =  1

2³      8

·    Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.

( a )^-m = ( b )^m

b             a

Örnekler:   ( 2 )^-3 = ( 3 )³ =27

3             2        8

Tek veya Çift Kuvvetler:

(-2)⁴ = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16

Sıfırdan farklı bir sayının;

·    Çift kuvvetleri pozitiftir.

·    Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:

Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Örnek

Örnek: 3a⁵ –8a⁵  + a⁵ toplamının sonucu nedir?

Çözüm: a⁵ ’lerin katsayılarını toplayalım.

(3-8+1) a⁵  = 4a⁵

Üslü İfadelerde Çarpma:

·    Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

a^m . aⁿ = a^m+n

·    Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.

a^m . b^m = (a+b)^m

·    Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek: 2³ . 5² =  8 . 25 = 200

Çarpma işlemi için 2 durum vardır.

a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.

x Î R , n, m Î Z için   x^m . xⁿ = xⁿ   dir.

b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.

x, y Î R , n Î Z için   xⁿ . yⁿ = (x . y) ⁿ dir.

Örnek

2⁹⁹ . 5⁹⁹ = (2.5) ⁹⁹  =  10⁹⁹

2⁷ . 3⁷ . 5⁷ = (2.3.S) ⁷ = 30⁷   dir.

(a + b) ³ . (a - b) ³ = [ (a+b) (a-b) ] ³ = (a² - b²) ³ Başka bir örnekte tersten de düşünürsek

42 ^X = (2.3.7) ^X = 2 ^X . 3 ^X . 7 ^X   olur.

Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.

x Î R ,   m, n Î Z için   (xⁿ)m = (x^m) ⁿ = x^m.n dir.

Örnek

(5³) ^2x = 5^6x dir.

Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.

(5³) ^2x = (5 ^X)6 = (5²) ^3x = (5⁶) ^X = (5^2X) ³ = (5^6x) gibi.

Örnek

Örnek

Üslü İfadelerde Bölme:

·    Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.

a^m  = a^{m – n}

aⁿ

Örnekler: 2⁸  = 2^8-5 = 2³ = 8

2⁵

·    Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.

Örnekler: ( 81 )⁴ = 3⁴ = 81

27

·    Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.

Üslü Denklemler:

Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.

Örnek: 9^{2x – 3} = 27^{x –1} ise   x’i bulalım.

Çözüm: (3²)^{2x – 3} = (3³)^{x – 1}

4x – 6 = 3x - 3

x =  3 bulunur.

Çözüm

Örnek

7^3x-15 = 1  ise   x   nedir?

Çözüm

7^3x-15 = 1  =  7

3x-15 = 0

3x= 15

x = 5    olur.

2)

a) m tek ise; .x = y

b) m çift ise; x = + y   dır.

Örnek

Örnek

10’un Kuvvetleri

a) n Î N⁺ olmak üzere

10 ⁿ = 1 00... 0’dır.

10 ⁿ sayısında n tane sıfır vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır.

b) n Î N olmak üzere

10^-n sayısında virgülün sağında (n-1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.

Örnek

700000000 = 7.10⁸ = 70.10⁷ = 700.10⁶   gibi değişik şekillerde yazılabilir.

0,00015=15.10^-5=1,5.10^-4=0,15.10^-3=150.10^-6 gibi değişik şekillerde de yazabiliriz.

Çözümlü Test

1. 3 ^X+1 - 5.3 ^X + 7.3 ^X + 3 ^X = 54 ise x kaçtır?

A) 2      B) 3          C) 4          D) 6          E) 8

Çözüm

3 ^X. 3 - 5.3 ^X + 7.3 ^X + 3 ^X = 54

(3-5 + 7 + 1).3 ^X = 54

6.3 ^X = 54

3 ^X = 9 = 3²

x - 2   dir.

Cevap : A

Çözüm

3.

işleminin sonucu nedir?

A) -4        B) -2        C) 2 D) 4          E) 5

Çözüm

Cevap : C

4.

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

5. 3.2 ^x+z + 4.2 ^x = 8 olduğuna göre x kaçtır?

A) 2         B)1          C) O         D)-1        E)-2

Çözüm

Cevap: D

6.

olduğuna göre  a.b  çarpımı kaçtır?

A) 12        B) 24       C) 36       D) 48       E) 60

Çözüm

Cevap :  D

7. (2^-1 + 2°)^-2. 3² işleminin sonucu kaçtır?

A) 2      B) 3          C) 4          D) 5          E) 6

Çözüm

Cevap: C

8.

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm

Cevap : C

Read more