· Her rasyonel sayının devirli bir ondalık açılımı olduğunu ve sayı ekseninde belirli bir yerinin olduğunu biliyorsunuz. Örneğin;
2 = 0,4
5
· Ondalık açılımı devirli olmayan bir çok sayı vardır. Bu sayıların rasyonel karşılığı yoktur. Örneğin;
a p = 3,1415926...
· Karesi 2’ye eşit olan bir rasyonel sayı bulamayız. Bu sayıyı Ö2 şeklinde gösteririz.
12 = 1
Bu işleme devam edersek karesi 2’yi veren bir rasyonel sayının olmadığını görürüz.
aO halde Ö2 sayısı sayı ekseninde 1 ile 2 arasındaki bir noktaya karşılık gelir.
1 < Ö2 < 2
Ö2 gibi rasyonel sayı karşılığı olmadığı halde sayı ekseninde bir görüntü noktası olan sayılara İRRASYONEL SAYILAR denir.
İrrasyonel sayılar, I ile gösterilir.
· Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel Sayılar kümesini verir. Reel sayılar R ile gösterilir.
Q È I = R
I Ì R ise
N Ì Z Ì Q Ì R
Köklü Sayılar:
A bir reel sayı ve m, 1’den büyük bir tamsayı mÖa sayısına a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.
m sayısına da kökün derecesi denir.
· M pozitif tek tamsayı ise mÖa sayısı bir reel sayıdır.
3Ö5 reel sayıdır.
· m pozitif çift tamsayı ise mÖa sayısı bir reel sayı değildir.
Ö5 reel sayıdır.
Not: Ö-1 sayısı reel sayı değildir. Çünkü hiç bir reel sayı ( - ) değerde olamaz.
Karekök İçindeki İfadenin Kök Dışına Çıkarılması:
Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler, 2 veya 2’nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışında çıkarılabilirler.
Öa2m = am
Öa2 . b2 = a . b
Kareköklü bir sayıyı aÖb şeklinde yazmak:
Rasyonel Sayıların Karekökü:
121 112 11
Uyarı: Tam sayılı olan kesirler birleşik kesirlere çevrilerek,pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.
Ondalık Sayıların Karekökü:
Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabilir.
100 10
Karekök dışındaki çarpanın kök içine alınması:
Kareköklü sayının katsayısının kök içine almak için katsayısının karesini kök içindeki sayı ile çarpar, kök içine yazarız.
aÖb = Öa2 .b
Toplama ve Çıkarma:
Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise katsayılar içine yazılır. Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.
Öa . Öb = Öa .b ve Öa . Öa = Öa2 = a
Kareköklü sayının n. kuvveti kök içindeki sayının n. kuvvetidir.
(Öa)n = Öan
Bölme:
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır. Sadeleştirmeler yapılıp mümkünse kök dışına çıkarılır.
Öa = Ö a
Öb b
Ö32 = Ö 32 = Ö8 = 2Ö2
Ö4 4
Paydayı Rasyonel Yapmak (Kökten Kurtarmak):
Paydayı kökten kurtarmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız.
· Öa nın eşleniği Öa ve Öa . Öa = a dır.
· Öa + Öb nin eşleniği Öa - Öb ve (Öa + Öb) . (Öa - Öb) = a - b
1. Paydada Öa varsa:
Pay ve paydayı Öa ile çarparız.
Ö2 Ö2 . Ö2 2
2. Paydada Öa + Öb varsa:
Pay ve paydayı Öa - Öb ile çarparız.
Örnek: 5 = 5 . (2 - Ö3) .
2+Ö3 (2+Ö3) . (2 - Ö3)
= 5 . (2- Ö3)
22 – (Ö3)2
= 10 - 5Ö3 = 10 - 5Ö3
4-3
