Taban Aritmetiği, Tabandan Başka Bir Tabana Çevirme | Örnek Sorular ve Cevaplar

TABAN ARİTMETİĞİ, TABANDAN BAŞKA BİR TABANA ÇEVİRME, ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

1)  Herhangi Bir Tabandaki Sayıyı Onluk Tabana Çevirmek:

Herhangi bir tabandaki sayıyı 10'luk tabana çevirirken, sayı ait olduğu tabana göre çözümlenir.

Taban 1 'den büyük doğal sayıdır.

Örnek

(214) ₅ = 2.5² + 1.51 + 4.5° = 59 şeklinde çevrilir.

Örnek

(231) _a = 45 ise,   a kaçtır?

Çözüm

(231 ) _a = 45 -> 2. a² + 3.a + 1 =45

2 a² + 3a - 44 = 0

(2a+ 11) (a-4) = 0

2Taban 1 'den büyük doğal sayı olacağından

a = 4 tür.

Örnek

(4x5) ₆ = 167 ise x kaçtır?

Çözüm

4.6₆ + x.6 + 5.6° =167

144 + 6x + 5 = 167

6x =167-149

6x = 18 x = 3   olur.

2) Onluk Tabandan Başka Bir Tabana Çevirmek

Onluk tabandan başka bir tabana çevrilirken sayı o tabana bölünür. Eğer bölüm tabandan büyük ise bu işleme tabandan küçük olana kadar devam edilir. Sonra sırası ile en son bölümden itibaren sondan başa doğru kalan rakamlar  yazılır.

Mesela,

103 sayısı 7 lik tabanda

Örnek

62 sayısının 4 lük tabandaki karşılığı nedir?

A) (302) ⁴        B) (313) ⁴        C) (332) ⁴

D) (301) ⁴        E) (303) ⁴

Çözüm

Örnek

41 sayısının ikilik tabandaki karşılığı nedir?

A) (101001) ₂      B) (101101) ₂    C) (101010) ₂

D) (101011) ₂    E) (101100) ₂

Çözüm

Örnek

2 ve 5 sayı tabanı olmak üzere,

(2a) ₅ = (1011) ₂ olduğuna göre a kaçtır? (1995/1)

A) O       B) 1        C) 2          D) 3          E) 4

Çözüm

(2a) ₅ =(1011) ₂ Þ a + 2.5¹ = 1 + 1.2¹ + 0.2²+1.2³

Þ a + 10 = 1+2 + B

Þ a + 10 = 11

Þ a = 1

Cevap : B'dir.

3) Aynı Tabandaki Sayılarda Dört İşlem:

Herhangi bir tabanda toplama, çıkarma ve çarpma 10'luk sisteme benzer şekilde yapılır. Bunları örneklerle gösterelim.

Örnek

(312) ₅ + (434) ₅ toplamı 5 tabanında neye eşittir?

Çözüm

Bu işlemi;

2 + 4 = 6 içinden bir 5 çıkartırsak kalan 1, elde de 1, sonra 5 ler basamağındaki 1+3 = 4 topladık elde 1 i ilave edersek 5 yine 5 çıkartırsak kalan 0, elde 1 olur.

Daha sonra 25 ler basamağındaki 3 + 4 = 7 topladık ve elde 1 i eklersek 8 olur. Yine 5 ten büyük olduğundan 5 çıkartırsak kalan 3 ve elde 1 kalır, işlem tamamlanır.

Örnek

(43) ₅ - (14) ₅ işleminin sonucu beş tabanında nedir?

Çözüm

3 den 4 çıkartılacağından beşler basamağındaki 4 sayısından 1 beşlik alınır ve 3 e eklenir.

5 + 3 = 8 ve    8-4 = 4 olur.

Beşler basamağından 3 kalmıştır. 3-1=2 olur. İşlem biter.

Örnek

2 sayı tabanını göstermek üzere,  (110) ₂-(11) ₂ farkı 2 tabanına göre kaçtır? (1 993/I)

A) 1010    B) 101      C) 11       D) 10       E) 1

Çözüm

0 dan 1 çıkartılacağından 2'ler basamağındaki 1 den 1 ikilik alınır.

2-1 = 1   ve  2'ler basamağında   O   kalır. Tekrar 2² basamağından bir ikilik alınır.

2-1=1 Cevap C'dir.

Örnek

(43) x (31 ) ₅ çarpma işleminin sonucu beş tabanında neye eşittir?

Çözüm

1.3 = 3 ve 1.4 = 4 yazılır.

3.3 = 9 ve 9-5 = 4 kalan 4 ve elde var 1

3.4 = 12 eldeki 1 ile 13 olur.

13'ün içinde 2 tane 5 olduğundan 13 - 2.5 = 3 kalan ve elde 2 olur.

Toplama daha önceki örnekteki gibi yapılır.

Örnek

(52) ₆ x (43) ₆ + (354) ₆ işleminin 6 tabanındaki eşiti nedir?

Çözüm

Önce çarpma işlemi yapılır. Çıkan sonuç ile (354) ₆ sayısı toplanır.

Bölme işlemi: Herhangi bir tabandaki sayı önce 10 luk tabana çevrilip sonra işlem yapılır. Daha sonra ise istenilen tabana çevrilerek  sonuç bulunur. Bölme işleminde bu yöntemi kullanmak daha iyidir.

Çözümlü Sorular

1. a, b , c pozitif tamsayılardır, a.b = 4, a.c = 12 ise a + b + c toplamının en küçük değeri nedir?

A) 6     B) 8    C) 10        D) 12        E) 17

Çözüm

a.b = 4 ve a.c = 12 olduğunda

a = 4, b = 1, c = 3 için a + b + c en küçük olur.

a+b+c=4+1+3=8

Cevap: B'dir.

2.  a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere,

ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

Çözüm

Her sayı 3 ile çarpılırsa 3a, 3b, 3c olur. Bu ise,

Cevap: D'dir.

3.  Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13 katından 7 fazladır.

Buna göre BA sayısı kaçtır?

A) 19         B) 25      C) 27      D) 29      E) 32

Çözüm

4AB = 13.(BA) + 7

400 + 10A + B = 13 (10B + A) + 7

400 + 10A + B = 130B + 13A + 7

393 = 129B + 3A olur.

Bu eşitlik A = 2, B = 3 için sağlanır.

O halde BA = 32 olur.

Cevap: E'dir.

4. Birbirinden farklı iki basamaklı pozitif dört tamsayının toplamı 326 dır. Bu sayılardan en büyüğü 98 olduğuna göre, en küçüğü en az kaçtır?

A) 36      B) 35        C) 33        D) 32        E) 30

Çözüm

En küçük, en az olan sayıyı bulmak için diğer üç sayıyı en büyük seçmek gerekir.

En büyük sayı 98 ise diğer ikisi farklı olacağından 97 ve 96 olur. 98 + 97 + 96 = 291 toplamdan çıkarırsak 326 - 291 = 35 bulunur.

Cevap: B'dir.

5. a, b, c birer doğal sayı ve 2a = 3b, a + c = 2b ise

 işleminin sonucu kaçtır?

A) 2        B) 3       C) 4       D) 5       E) 6

Çözüm

Cevap : E ‘dir.

6.

olduğuna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 33      B) 29       C) 26        D) 20        E) 15

Çözüm

a Î Z⁺ olması için b nin 8 in bölenleri olması gerekir.

b = 8 için a = 11

b = 4 için a = 10

b = 2 için a = 8

b = 1   için a = 4 dür.

a'nın alacağı değerler toplamı ise

11 +10 + 8 + 4 = 33 olur.

Cevap: A'dır.

7. a, b, c çift sayılar olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Çözüm

a, b, c çift (4) ise,

Cevap: C'dir.

8.  Rakamları farklı üç basamaklı en büyük pozitif tamsayı ile rakamları farklı üç basamaklı üç basamaklı en küçük pozitif tamsayının farkı kaçtır?

A) 774     B) 855     C) 885     D) 895     E) 989

Çözüm

En büyük: 987

En küçük: 102

987-102 = 885

Cevap: C'dir.

9. x ve y birer pozitif tamsayı olmak üzere,

x > 3 ve 2x + 3y = 96 ise y'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 29      B) 28       C) 26       D) 23        E) 22

Çözüm

3 Cevap: B'dir.

10. a bir tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

A)a-1               B) a² + 1          C)a² + a

D) a² - 2a + 1      E) a³

Çözüm

C seçeneğindeki a²,+ a = a.(a + 1) ardışık iki sayının çarpımı olduğundan kesinlikle çift sayıdır.

Cevap: C'dir.

11. a, b pozitif tamsayılar ve — + b = 8 olduğuna göre

4 a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 16       B) 20       C) 24       D) 28       E) 36

Çözüm

 ise a = 4.(8-b) = 32 - 4b   olur.

b = 1  yazarsak a en büyük olur.

a = 32 - 4.1 = 28 dir.

Cevap: D'dir.

12. 10 ve m sayı tabanını göstermek üzere; (97) ₁₀ = (241) _m olduğuna göre m kaçtır?

A) 9         B) 8          C) 7          D) 6          E) 5

Çözüm

(241) _m = 2.m² + 4.m + 1

2m² + 4m + 1 = 97

2m² + 4m = 96

m² + 2m = 48

m.(m+2) = 48

m = 6   olur.

Cevap: D'dir.

13. 4 sayı tabanını göstermek üzere;    (213) ₄ x (23) ₄ çarpma işleminin sonucu 4 tabanına göre kaçtır?

A) 13231    B) 13221          C)13213

D)12321        E) 12231

Çözüm

Cevap: E'dir.

14. 2 ve 5 sayı tabanını göstermek üzere; (2a) ₅ = (1011) ₂ olduğuna göre a kaçtır?

A) 0        B)1           C) 2          D) 3          E) 4

Çözüm

(2a) ₅ = 2.5 + a = 10 + a

(1011) ₂ = 1.3³ + 0.2² + 1.2 + 1 = 11

10 + a = 11  ise a = 1  olur.

Cevap : B'dir.

15. 8⁴ doğal sayısı 4 tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir?

A) 4         B) 5          C) 6          0)7          E) 8

Çözüm

8⁴ = (2³) ⁴ = 212 = (22)6 = 46 dır.

4⁶ = 1.4⁶ + 0.45 + 0.4⁴ + 0.4³ + 0.4² + 0.4¹ + O

= (1000000) ⁴

olduğundan 4⁶ sayısı 7 basamaklıdır.

Cevap: D'dir.

16. (12,12) ₅ sayısının 10 luk tabandaki eşiti aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 7,42    B) 7,28  C) 6,32   D) 6,28    E) 5,42

Çözüm

Cevap: B şıkkıdır.

Read more

Doğal ve Rasyonel Sayılar - Bölünebilme - Taban Aritmetiği

Tanım: sayıları göstermek için kullanılan işaretlerin herbirine Rakamdenir.

Sayıların Gösterilişi:

Q (Rasyonel Sayılar) Z (Tam Sayılar) N Doğal Sayılar

Q' (İrrasyonel Sayılar)

 

N : { 0, 1, 2, , , , n}      S : { 1, 2, , , , n}      Z : { , , , -2, -1, 0, 1, 2, , , }      Q : { , , , -a/b , , 0, a/b , , , }      Q U Q' = R

Yukarıda görüldüğü gibi Q, Z ve N'i ; Z ise sadece N kümesini kapsar. Q' (bazen İkümesi de deniyor) rasyonel olmayan sayılar kümesidir. Reel Sayılar kümesi ise, Rasyonel ve İrrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi olarak ifade edilir.Tüm sayıların yukarıdaki kümelerde göstrildiği gibi aklımıza takılan bazı sayıların da ne olduğuna ve nerede bulunduğuna bakalım.

• Ardışık Doğal Sayılar
  Arka arkaya gelen doğal sayılar. , , , , , n , n+1, n+2 , , , , , ,
• Çift Sayılar
  Doğal sayılar içinden alınan herhangi bir n sayısının 2 ile çarpılarak bulunan sayılardır.2n, 4n,
• Ardışık Çift Sayılar
  Arka arkaya gelen çift sayılardır , , , 2n , 2n+2 , 2n+4, , , ,
• Tek Sayılar
  Bir çift sayıya tek sayı ilave etmek veya bir çift sayıdan tek sayı çıkarmak suretiyle elde edilen sayılardır. 2n-1, 4n+1,
• Ardışık Tek Sayılar
  Arka arkaya gelen tek sayılardır , , 2n-3 , 2n-1 , 2n+1 , 2n+3, , , ,
• Asal Sayılar
  1 ve kendisinden başka doğal sayılara tam olarak bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılardır.    2 , 3, 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , , ,
• Aralarında Asal Sayılar
  1'den başka ortak böleni olmayan doğal sayılardır.    7 ve 18 gibi

 

Bölünebilme
Tanım:
Bir bölme işleminde kalan sıfır "0" oluyorsa, bölünen, bölene tam olarak bölünüyor denir.

BÖLÜNEBİLME      KURALLARI

2 ile bölünebilme	Birler basamağındaki rakam 0 veya çift olan sayılar
3 ile bölünebilme	Rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar
4 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 4'ün katı olan sayılar
5 ile bölünebilme	Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar
6 ile bölünebilme	Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar
8 ile bölünebilme	Son üç basamağı 000 veya 8'in katı olan sayılar
9 ile bölünebilme	Rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar
10 ile bölünebilme	Birler basamağı 0 olan sayılar
11 ile bölünebilme	Rakamları sondan başa doğru - + - + - şekilde işaretlendiğinde, + ve - lerin farkı 0ya da 11 veya 11 'in katı olan sayılar
25 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 25'in katı olan sayılar
50 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 50 olan sayılar

 

Bazı önemli tanım ve uyarılar
 

Rakamların basamaklara bağlı olmadan gösterdikleri doğal sayıya sayı değeri denir. 
Rakamların, bulunduğu basamaklara göre aldıkları değere basamak değeri denir. 
Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme ve birleşme özelliği vardır. 
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin değişme ve birleşme özelliği olmayıp kapalı değildir. 
Bir sayının asal çarpanlara ayrılması, çarpanları asal sayılar cinsinden yazılmasıdır. 
x bir asal sayı olmak üzere, x sayını bölebilen (n+1) tane sayma sayısı vardır. 
Sayılarda işlem sırası parantez - kuvvet - çarpma/bölme - toplama/çıkarma şeklindedir. 
n! sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için, n'i sürekli 5'e bölerek bulunan bölümleri toplarız. 
Toplamları verilen doğal sayılar 3,5,7,,, gibi tek adette ise, toplam adet'e bölünerek ortanca (ortadaki sayı) bulunur. 
Toplamları verilen doğal sayılar 2,4,6,,, gibi çift adette ise, tüm sayılar ya en küçüğe, ya da en büyüğe göre düzenlenip sonuca gidilir. 
Ardışık tek/çift doğal sayılar arasında 2 fark vardır. 
İki doğal sayı arasındaki sayı adedini bulmak için son sayıdan ilk sayı çıkartılıp "1" eksiği alınır. 
İki doğal sayı (kendileri de dahil olmak üzere) arasındaki sayı adedini bulmak için son sayıdan ilk sayı çıkartılıp "1" toplanır.

Tam sayı bölenleri
a, b ve c Asal sayılar ve x, y ve z Sayma sayılar kümeleri olmak üzere T = ax . by . cz    şeklinde verilen T sayısının pozitif bölenlerinin;

• sayısı
  (x+1) . (y+1) . (z+1)
• toplamı
  (1+a+a²+...+ax ) . (1+b+b²+...+by ) . (1+c+c²+...+cz ) 
  Formülleriyle hesaplanır.

Sayıların (OKEK) - (OBEB) lerinin bulunması
Verilen sayıların asal çarpanları bulunduğunda;

• Ortak olan asal çarpanların üsleri en büyük olanlar ile üsleri eşit olanların birer tanesive ortak olmayanların tümünün çarpımı (OKEK)'i verir.
• Ortak olan asal çarpanların üsleri en küçük olanlar ile üsleri eşit olanların birer tanesinin çarpımı (OBEB)'i verir.

Taban Aritmetiği
Günlük hayatta kullanılan sayılar   {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }    rakamlarından oluşup, 10'luk sayı sistemindedir. Sayılar farklı tabanlarda yazılıp yine farklı tabanlarda istenebilir. Bu durumda yapılacak işlemeler aşağıdaki gibi olacaktır.

(sayı)10 = ( ? )x	" B ö l "     sayıyı sürekli x'e bölüp son bölümün yanına sondan başa doğru kalanları yazarız
(sayı)x = ( ? )10	"Ç ö z ü m l e "     sayının rakamlarını bulundukları basamak değerlerine göre yazarız.
(sayı)x = ( ? )y	"Ç ö z ü m l e "    ve    " B ö l "    birinci ve ikinci satırdaki yazdıklarımızı birlikte uygularız.

UYARI
Aynı tabanda iki sayının toplam/çarpma işlemi 10'luk düzene çevirmeden de o tabandaki basamaklar düşünülerek yapılabilir.

UYARI
   (abc) m sayısının TEK / ÇİFT olma durumu

m çift sayı ise	c TEK ise, sayı TEK ; c ÇİFT ise , sayı ÇİFT
m tek sayı ise	(a+b+c) TEK ise, sayı TEK ; (a+b+c) ÇİFT ise sayı ÇİFT

ÖRNEKLER

150 ½ 2   75 ½ 3   25 ½ 5     5 ½ 5     1 ½

kural: (x+1) . (y+1) . (z+1) idi, asal çarpanlar : 21, 31, 52    =>    (1+1) . (1+1) . (2+1) = 2 . 2 . 3    =>    12tane pozitif bölen bulunur. Bunların Toplamı; ( 2o + 21 ) . ( 3o + 31 ) . (5o + 51 + 52 ) = 3 . 4 . 31 = 372 bulunur.

 

252 ½ 2 126 ½ 2   63 ½ 3   21 ½ 3     7 ½ 7      1 ½

1 470 ½ 2    735 ½ 3    245 ½ 5      49 ½ 7        7 ½ 7         1 ½

252 = 22 . 32 . 7  1 470 = 2 . 3 . 5 . 72

OKEK(252,1470) = 22 . 32 . 72 . 5 = 8 820
OBEB(252,1470) = 2 . 3 . 7 bbbb =      42
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
370 440 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb=   370 440 

Uyarı: İki sayının obeb ve okek 'leri çarpımı; sayıların çarpımına eşittir.

• 150 sayısının pozitif tam sayı bölenleri adedi ile bunların toplamı kaçtır?
• 252 ile 1 470 sayılarının (OKEK) ve (OBEB) lerini bulunuz.

Read more