Üçgende Açılar Konusu - Geometri Çözümlü Konu Anlatımı

Tanım: Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine Açı denir.

Dar Açı, Dik Açı, Geniş Açı, Doğru Açı, Doğru Açıdan Büyük Tam Açıdan Küçük Açı, Tam Açı    şeklinde çeşitleyebiliriz.

 

Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar:

Ters Açılar İç Ters Açılar Dış Ters Açılar Yöndeş Açılar Karşı Durumlu Açılar

UYARI : Paralel iki doğru arasında kırık çizgilerle oluşturulmuş açılardan; bir yöne bakanların toplamı, diğer yöne bakanların toplamına eşittir.



 

KENARLARI   DİK   AÇILAR İki dar açının ölçüleri eşittir. Biri dar biri geniş ise, toplamları   180°  dir.

KENARLARI   PARALEL   AÇILAR Kenarları aynı yönde paralel ise, ölçüleri eşittir. Kenarları zıt yönde paralel ise, ölçüleri eşittir. Birer kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönde paralel olan açıların toplamı  180°  dir.

 

  T A N I M L A R

  Açıortay :Herhangi bir açının ölçüsünü iki eşit parçaya bölen ışındır.

  Tümler Açılar :Ölçüleri toplamı ı  90°  olan açılara denir.

  Bütünler Açılar :Ölçüleri toplamı ı  180°  olan açılara denir.

  Komşu Açılar :Birer köşeleri ve birer kenarları ortak olan açılara denir.

  Eş Açılar :Ölçüleri eşit olan açılara denir.

Uyarılar :
• Bir açının iç açıortayı üzerinde alınan herhangi bir noktadan açının kenarlarına indirilen dikmeler birbirine eşittir.
• Komşu Tümler iki açının açıortaylarının meydana getirdiği açı  45°  dir.
• Komşu Bütünler iki açının açıortaylarının meydana getirdiği açı  90°  dir.

Ö R N E K L E R

Şekilde     [EC // [FD     x - y = 10° ise "y" açısı kaç derecedir? "y" açısı kaç derecedir?

Read more

Üslü Sayılar, Konu Anlatım, Sorular ve Cevaplar

Üs Kavramı:

(a)          reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere; a^m  ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.

a^m = a . a . a...a şeklinde gösterilir.

Örnekler:

2³ = 2 . 2 . 2 =8

5² = 5 . 5 = 25

Özellikler:

·    Sıfırdan farklı bir sayını sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.

a^m = a⁰ = 1

Örnekler:  3⁰ = 1

·    Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

a^m = a¹ = a

Örnekler:  2¹ = 2

·    Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı kuvvetleri alınır.

( a )^m = a^m

b         b^m

Örnekler: ( 2 )⁵ = 2⁵ = 32

3         3⁵    243

·    Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Örnekler: ( 2³)² = 2^{3 . 2} = 2⁶ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

·    a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;

a^-m = 1

a^m

Örnekler:  2³  = 1   =  1

2³      8

·    Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.

( a )^-m = ( b )^m

b             a

Örnekler:   ( 2 )^-3 = ( 3 )³ =27

3             2        8

Tek veya Çift Kuvvetler:

(-2)⁴ = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16

Sıfırdan farklı bir sayının;

·    Çift kuvvetleri pozitiftir.

·    Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:

Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Örnek

Örnek: 3a⁵ –8a⁵  + a⁵ toplamının sonucu nedir?

Çözüm: a⁵ ’lerin katsayılarını toplayalım.

(3-8+1) a⁵  = 4a⁵

Üslü İfadelerde Çarpma:

·    Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.

a^m . aⁿ = a^m+n

·    Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.

a^m . b^m = (a+b)^m

·    Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek: 2³ . 5² =  8 . 25 = 200

Çarpma işlemi için 2 durum vardır.

a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.

x Î R , n, m Î Z için   x^m . xⁿ = xⁿ   dir.

b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.

x, y Î R , n Î Z için   xⁿ . yⁿ = (x . y) ⁿ dir.

Örnek

2⁹⁹ . 5⁹⁹ = (2.5) ⁹⁹  =  10⁹⁹

2⁷ . 3⁷ . 5⁷ = (2.3.S) ⁷ = 30⁷   dir.

(a + b) ³ . (a - b) ³ = [ (a+b) (a-b) ] ³ = (a² - b²) ³ Başka bir örnekte tersten de düşünürsek

42 ^X = (2.3.7) ^X = 2 ^X . 3 ^X . 7 ^X   olur.

Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.

x Î R ,   m, n Î Z için   (xⁿ)m = (x^m) ⁿ = x^m.n dir.

Örnek

(5³) ^2x = 5^6x dir.

Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.

(5³) ^2x = (5 ^X)6 = (5²) ^3x = (5⁶) ^X = (5^2X) ³ = (5^6x) gibi.

Örnek

Örnek

Üslü İfadelerde Bölme:

·    Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.

a^m  = a^{m – n}

aⁿ

Örnekler: 2⁸  = 2^8-5 = 2³ = 8

2⁵

·    Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.

Örnekler: ( 81 )⁴ = 3⁴ = 81

27

·    Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.

Üslü Denklemler:

Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.

Örnek: 9^{2x – 3} = 27^{x –1} ise   x’i bulalım.

Çözüm: (3²)^{2x – 3} = (3³)^{x – 1}

4x – 6 = 3x - 3

x =  3 bulunur.

Çözüm

Örnek

7^3x-15 = 1  ise   x   nedir?

Çözüm

7^3x-15 = 1  =  7

3x-15 = 0

3x= 15

x = 5    olur.

2)

a) m tek ise; .x = y

b) m çift ise; x = + y   dır.

Örnek

Örnek

10’un Kuvvetleri

a) n Î N⁺ olmak üzere

10 ⁿ = 1 00... 0’dır.

10 ⁿ sayısında n tane sıfır vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır.

b) n Î N olmak üzere

10^-n sayısında virgülün sağında (n-1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.

Örnek

700000000 = 7.10⁸ = 70.10⁷ = 700.10⁶   gibi değişik şekillerde yazılabilir.

0,00015=15.10^-5=1,5.10^-4=0,15.10^-3=150.10^-6 gibi değişik şekillerde de yazabiliriz.

Çözümlü Test

1. 3 ^X+1 - 5.3 ^X + 7.3 ^X + 3 ^X = 54 ise x kaçtır?

A) 2      B) 3          C) 4          D) 6          E) 8

Çözüm

3 ^X. 3 - 5.3 ^X + 7.3 ^X + 3 ^X = 54

(3-5 + 7 + 1).3 ^X = 54

6.3 ^X = 54

3 ^X = 9 = 3²

x - 2   dir.

Cevap : A

Çözüm

3.

işleminin sonucu nedir?

A) -4        B) -2        C) 2 D) 4          E) 5

Çözüm

Cevap : C

4.

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

5. 3.2 ^x+z + 4.2 ^x = 8 olduğuna göre x kaçtır?

A) 2         B)1          C) O         D)-1        E)-2

Çözüm

Cevap: D

6.

olduğuna göre  a.b  çarpımı kaçtır?

A) 12        B) 24       C) 36       D) 48       E) 60

Çözüm

Cevap :  D

7. (2^-1 + 2°)^-2. 3² işleminin sonucu kaçtır?

A) 2      B) 3          C) 4          D) 5          E) 6

Çözüm

Cevap: C

8.

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm

Cevap : C

Read more

Matematik Neden Vardır? Matematiğe Niçin İhtiyaç Duyulur? Matematik'de Mantık

Matematik, genel mantığın uygulama alanı ve insan zekasının bu yolda işlemesi görevini görür Ayrıca; mekanik, fizik, astronomi bilimlerinin de temelini teşkil eder Bunların dışında, sosyal bilimler, tıp, jeoloji, jeofizik, psikoloji, sosyoloji ve iş idareciliği gibi alanlarda da, matematiğe geniş bir şekilde ihtiyaç duyulur ve yaygın bir şekilde kullanılır

Bugünün medeniyetinde ön safı tutan, büyük endüstri ve yan kuruluşları, istihkam hizmetleri hep matematiğin yardımı ile yapılmış eserlerdir Şu an siz bu yazıyı okurken, karşınızda duran bilgisayarınızın içinde milyonlarca matematik işlemi büyük bir sürat ile yapılmakta ve sonuçları size görüntü ve ses olarak sunulmakta Yolda yürürken gördüğünüz binalar, taşıtlar ve yollar hep matematik ve mühendisliğin ortaya koymuş olduğu tasarımlardır Onun için en soyut bir ilim olan matematik, ikinci elden pratik hayata da tesir ediyor demektir

Denilebilir ki; günlük yaşantımızın her evresinde, karşı karşıya olduğumuz bir bilimin tarihini bilmek, matematiğin önemini kavramanın temeli olsa gerekir.

Cebirin İnsan Hayatına Katkıları


Cebir ismi Arap kökenli İslam Alimi El Cabir Bin Hayyam’ın isminden gelir. Bu alim cebirsel ifadeleri, denklemleri bulan ve ilk kullanan bilgindir. Daha sonra cebiri kullanan ve geliştirenler de İslam bilginleridir. Zaten ingilizce’de de cebirin karşılığı Algebra’dır! Algebra, El Cabir’den gelen bir isimdir.


Cebir’e neden ihtiyaç duyulduğu?

Cebir yapı, bağlantı ve miktar üzerine uğraşan bir matematik dalıdır. Bilinmeyen değerlerin, işaret ve harflerle sembolize edilerek kurulan denklemlerle bulunması (yada bilinmeyenlerin arasındaki bağlantının bulunması) esasına dayanır. Cebirtemellerini El Harezmi’den alır. Cebir ardı Harezmi’nin “El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il – Cebri ve’l-Mukabele” adlı eserinden gelmektedir. Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk cebir kitabı olma özelliğini taşımaktadır. El Harezmi’den bu yanacebir çok değişmiştir. Cebir bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir.


Cebir’in ilk defa ne zaman ve kim tarafından kullanıldığı?

Cebir ile ilgili en eski bilgiler M.Ö. 1700-1600 dan kalan eski Mısır papirüsleri üzerinde yazılmış olarak bulunmuştur. Kullanımı bazı basit denklemlerin çözümlerinden ibaret olduğu ortaya çıkmıştır. Sonradan eski Yunan matematikçilericebir ile geometriyi ortak kullanmışlardır. Euclid (M.Ö. 300) ve ilk olarak cebirsel semboller kullanan Diophanteus (M.Ö. 275) xy = k2 , x+y = a , x2 – y2 = a2 biçimindeki denklemlerin çözümlerini aramışlardır. Eski zamanlarda Çinliler ve Hintliler de denklem çözmeyi biliyorlardı; Brahmagupta (M.S.628), Mahavira (M.S. 850), Bhaskara (M.S. 1150) cebirsel yöntemlerle bir çok problemi çözmüşlerdir. İslam matematikçileri arasında Mohammed ibn Musa al-KhoWarizmi (M.S. 825) ve al-Karkhi (M.S. 1100) en ünlüleridir. Özellikle, al-KhoWarizmi’nin cebri avrupalılar üzerinde büyük etki göstermiştir. Avrupada ilk olarak, İtalyada cebir öğrenilmeye başlamıştır.Özellikle, ikinci ve üçüncü derece denklemlerin çözülmesine çalışılmıştır. Avrupada cebir ile uğraşan en eski matematikçiler Tataglia (1535), Cardan (1545), Ferrari (1540), Vieta (1590), Harriot (1600) , Descartes (1637) ve Wallis (1655) dir.Daha sonra,cebir Avrupalı matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Ruffini (1803), Abel (1824), Galois (1831) 19-uncu yüzyılın başındaki en önemli matematikçilerdir.

Cebir’de bilinmeyene neden x denildiği?

Neredeyse her bilinmeyeni simgelemek için kullanılan x harfi nereden geliyor?
Bu harfin kökeni Arapça “şey” kelimesine dayanıyor. Daha sonra İspanyolcaya çevrilen cebir kaynaklarında “xay” olarak gözüken ifade x olarak kısaltıldı vecebir’in bilinmeyeni simgelemede kullandığı en tercih edilir harf haline geldi.

Hangi bilimlerde cebir’in kullanıldığı?


Matematik, Astronomi, Bilgisayar Programcılığı ve Tıp’ta cebir kullanılır.
İslamiyet’in başlangıç yıllarında; dini günlerin tespiti, namaz vakitlerinin belirlenmesi, takvim hazırlanması gibi problemlerle uğraşılmış olunduğu, o devir İslam matematikçilerinin, arazi ölçüleri, veraset hesapları, yükseklik tayini ve günlük yaşantı için gerekli pratik ölçme ve hesaplamalar hakkında bazı çalışmalarında cebirden faydalanmışlardır.

Cebir’in matematik bilimine sağladığı kolaylıklar nelerdir?
Cebir, bilinmeyen coklukların, matematik sembolleri ile formule edilerek kurulandenklikler yardımı ile ifadesi ve bu denkliklerin çözülmesini konu alır. Cebirbilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir.

Read more