Nette Buldum: Diskriminant Örnekleri

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir.
Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.
İkinci derecede polinom

-2/5(x^2)+y-9x=0 x<=>y birini diğerinin değerinden yazıp denklemi tek bilinmeyenli hale getiririz.

Δ=b^2-4ac    x1=[-b-(Δ)½]/2a   x2=[-b+(Δ)½]/2a     a=-2/5  b=1  c=9      xy-x^2+y^½=¶  2 bilinmeyenli denklemdir.¶ herhangi bir sayıdır.

Δ bilinmesi bu ikinci derece fonksiyonunun garafiğinin çizilmesini sağlar

a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır: c) Δ < 0 reel kök yoktur..Kökler irrasyonel dir..i-j-k kartezyen koordinatlar.

Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi

Eger a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir. D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman 2 tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ²) Δ'ya eşittir. Buna göre

a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x₁ eve x₂, şu formülle bulunur:

$x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{ ve }\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}$

b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök $x_1$ bulunur:

$x_1 = \frac{-b}{2a}$

Kısaltılmış diskriminant

Bazan ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:

$ax^2 + 2b'x + c = 0 \;$

Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:

$\Delta' = b'^2 - 4ac\;$

Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:

$x_1 = \frac {-b' + \delta'}{a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \delta'}{a}\quad \text{avec}\quad \delta'^2 = \Delta' = b'^2 - ac$

Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:

$5x^2 - 5x + 1 = 0 \;$

Çözüm için, yani iki kok x₁ ve x₂ bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :

$\Delta = (-5)^2 -4.5.1=5\quad \text{et}\quad x_1 = \frac {5 + \sqrt 5}{10},\quad x_2 = \frac {5 - \sqrt 5}{10}$

b)İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:

$x^2 + 6x + 9 = 0$

ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:

$\Delta = 6^2 - 4 ( 1 ) (9) = 36 - 36 = 0\;$

Bu demktir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\;$

Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.

c) Son olarak örnek denklem şu olsun:

$x^2 + x + 1 = 0$

Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:

$\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3\;$

yani Δ negatifdir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatorüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:

$\ \quad\text{et}\quad x_1 = - \frac 12 + i\frac \sqrt 32,\quad x_1 = - \frac 12 - i\frac \sqrt 32$

Kaynak ; http://tr.wikipedia.org/wiki/Diskriminant

Nette Buldum

Reklam

Reklam

Reklam

Diskriminant Nedir? Diskriminant Analizi ve Örnekleri

Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi

Kısaltılmış diskriminant

Örnekler

Reklam

Popular Posts

Blog Arşivi

Reklam