Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.
Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen “perimetier” kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı. Leonard Euler’den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler’den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828… sayısı için, L. Euler’in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir.
Peki Pi Sayısını Kim bulmuştur?
Peki Pi Sayısını Kim bulmuştur?
Pi’yi Nasıl Hesaplarız ?
Doğum Gününüzün Pi nin İçinde Olduğunu Biliyor Muydunuz?
Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes’in gençlik yıllarında Mısır’da uzun bir süre öğrenim gördüğünü hesaba katarsak Babilliler’in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, “Mezopotamyalılar’da , idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur” der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.
Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.
Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.
Pi’yi Nasıl Hesaplarız
Tahmin edebileceğiniz gibi, artık 
sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin,18 no’lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin-11=/2 ve cos-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, ‘nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş.
Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum.
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta, M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır’lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: “Çapın 1/9′unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır.” Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x2=64.(4r2)/81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r2/81=r2 veya =256/81=3,16005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L=2r eşitliğinden, 64r/9=2r veya =32/9=3,55555 elde ederiz. Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır’lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=3,16049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan jsayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha M.Ö. 1650′lerde yüzde 1′in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek’ler döneminde, Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Açalım:
sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin,18 no’lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin-11=/2 ve cos-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, ‘nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş.Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum.
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta, M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır’lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: “Çapın 1/9′unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır.” Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x2=64.(4r2)/81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r2/81=
r2 veya =256/81=3,16005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L=2r eşitliğinden, 64r/9=2r veya =32/9=3,55555 elde ederiz. Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır’lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=3,16049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan jsayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha M.Ö. 1650′lerde yüzde 1′in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek’ler döneminde, Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Açalım:Şekil’de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş. Bu kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz. ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a=r/
2′dir. Bu durumda karenin çevresi L=8a=42r, alanı A=(2a)²=(2r)²=2r² olur. Karenin çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L=2r eşitliğinden, 42r=2r veya =22 elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, =2,828427 verir. Halbuki, karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A= r² eşitliğinden, 2r²= r², yani =2 elde ederiz. Bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü.
Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri ****rmek üzere, bu sefer dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım. Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor. Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış. AD uzunluğu r’ye eşit ve a=r/2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/2 olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/2)=2r²-2r²=(2-2)r² olur. O halde BD’nin uzunluğu |BD|=(2-2)½ r’dir. Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L=8.(2-2)½ r’ye eşittir. Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L= L=2r eşitliğinden, 8.(2-2)½ r = 2r veya =4.(2-2)½ elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, =3,06146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi.
2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/2 olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/2)=2r²-2r²=(2-2)r² olur. O halde BD’nin uzunluğu |BD|=(2-2)½ r’dir. Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L=8.(2-2)½ r’ye eşittir. Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L= L=2r eşitliğinden, 8.(2-2)½ r = 2r veya =4.(2-2)½ elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, =3,06146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi.
Öte yandan, BCD üçgeninin alanı a.b/2= (r/2).(r-r/2)/2=r²/22- r²/4 olur. Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/22- r²/4)= 2r²+22r²- 2r²=22r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A= r² eşitliğinden, 22r²= r², yani =22=2,828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç. Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi. Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun.
2).(r-r/2)/2=r²/22- r²/4 olur. Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/22- r²/4)= 2r²+22r²- 2r²=22r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A= r² eşitliğinden, 22r²= r², yani =22=2,828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç. Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi. Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun.
Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir.
Ancak. Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite, sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan “o sabit sayı”dan bahsediliyordu. Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katla*****, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır. Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10′lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok.
sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan “o sabit sayı”dan bahsediliyordu. Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katla*****, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır. Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10′lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok.
Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var. İlave edeceğimiz tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed’in, alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak ‘yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır.
‘yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır.
Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159… hassasiyetine ulaşanlar Çin’li Tsu Ch’ung-chih ve oğlu Tsu Keng-chih’dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve ‘nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz.
‘nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz.
Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak, ‘ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde ‘nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda.
‘ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde ‘nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda.
Bu arada, “o sabit sayı”ya adını, 1650′lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi, 1737′de Euler’in ‘yi benimsemesinden sonra olmuştur.
adını, 1650′lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi, 1737′de Euler’in ‘yi benimsemesinden sonra olmuştur.
Doğum Gününüz Pi’de Gizli
Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muh***** bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun pi’nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi pi’nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız artar.
Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri pi’nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki, Pi’nin bilinen basamakları 1.2 trilyon civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan, bulmak kolay değil.
Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muh***** bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun pi’nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi pi’nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız artar.
Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri pi’nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki, Pi’nin bilinen basamakları 1.2 trilyon civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan, bulmak kolay değil.
Pi nedir:
Matematikçi: “Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır.”
Bilgisayar Programcısı: “Pi 3,14159265389 dur”
Fizikçi: “3,14159artı eksi 0,000005′tir”
Mühendis: “Yaklaşık 22/7′dir”
Matematikçi: “Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır.”
Bilgisayar Programcısı: “Pi 3,14159265389 dur”
Fizikçi: “3,14159artı eksi 0,000005′tir”
Mühendis: “Yaklaşık 22/7′dir”
Alıntı:İnternetteki Kaynaklardan Yararlanılarak Derlenmiştir.
