a₀, a₁, a₂, ....a_n-1, a_n Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = a_n xⁿ+ a_n-1 x^n-1 + .... + a₁ x + a₀ şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. a_nxⁿ, a_n-1 x^n-1, ...., a_k x^k, ....., a_yx, a₀ ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

2. a_n, a_n-1, ...., a_k, ...., a_y, a₀ reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

3. P(x) polinomunda a_nxⁿ terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

4. Derecesi en büyük olan a_nxⁿ terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a₀ sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... + a₁x + a₀ şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + .... + a_n-1x^n-1 + a_nxⁿ biçiminde sıralanır.

6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R_[x]ile gösterilir.

Örnek:

P(x) = 2x^5-3/n +x^n-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x^5-3/3 + x^3-2 + 4

P(x) = 2x⁴ + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x³y²– 2x⁴ y³ + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek

P(x, y) = 2x²y⁴ – 3x³y⁵+ x²y³-y⁵ + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x²y⁴ teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x³y⁵ teriminin derecesi 3 + 5 =8

x²y³ teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y⁵ teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek

P(x) = x³ – 3x² + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 2³ – 3.2² + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 0³ – 3.0² + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.

P(1) = 1³ – 3.1² + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ polinomunda,

a_n = a_n-1 = ... = a₁ = a₀ = 0 ise; P(x) = 0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x² + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek

P(x) = (m + 3)x² + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ polinomunda, a_n = a_n-1 = ... = a₁ = 0 ve a₀ ¹ 0 ise; P(x) polinomuna,sabit polinom denir.

0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x + a₀ sabit polinomu, a₀ ile gösterilir.

x⁰ = 1 olduğundan; a₀ sabit polinomu, a₀x⁰ biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) = A – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,

A(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ ve

B(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₂x² + b₁x + b₀ polinomları için;

A(x) = B(x) Û a_n = b_n, a_n-1 = b_n-1, ... , a₂ = b₂, a₁, a₀ = b₀ dır.

Örnek

A(x) = 5x³ + (a + 1x² + d,

polinomları veriliyor.

A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R ® R

x ® P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R ® R

x ® P(x) = 5x³ + 2x² – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek

P(x) = x² + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)² + 2(x-1) + 1

= x² – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x²

P(x-1) = x² olarak bulunur.

II: Yol:

Önce P(x) = x² + 2x + 1 = (x+1)² olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)² = x² bulunur.

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x³ – 2x² + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(x+2) = x³ - 2x² + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) = (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

P(h) = (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

P(x) = (x – 2)³ – 2(x – 2)² + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = a_nx_n + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀ katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek

P(x) = 2x⁴ + 5x³ – 3x² + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.1⁴ + 5.1³ – 3.1² + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

B(x) = b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.

A(x) + B(x) = a₄ x⁴ + ( a₃ + b₃ ) x³ + ( a₂ + b₂ ) x² + ( a₁ + b₁ ) x + a₀ + b₀

Örnek

P(x) = x³ + 2x² – 3x + 1, Q(x) = 3x² + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm

P(x) + Q(x) = x³ + (2+3) x² + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x³ + 5x² + (Ö3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek

Çözüm

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

a_nxⁿ ile b_kx^k teriminin çarpımı

a_nxⁿ . b_kx^k = (a_n . b_k) x^n+k dir.

Yani (5x³) . (-2x⁴) = 5 . (-2) x³⁺⁴ = -10x⁷

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek

A(x) = 3x⁴ + 1, B(x) = x² + x

C(x) = x² – x + 1 polinomları veriliyor.

a) A(x) . B(x)

b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm

a) A(x) . B(x) = (3x⁴ + 1) . (x² + x)

= 3x⁴ . x² + 3x⁴ . x + x² + x

= 3x⁶ + 3x⁵ + x² + x

b) B(x) . C(x) = (x² + x) . (x² – x + 1)

= x² . x² – x² . x + x² . 1 + x . x² – x . x + x . 1

= x⁴ – x³ + x² + x³ – x² + x + 1

= x⁴ + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.

2. Değişme özelliği vardır.

3. Birleşme özelliği vardır.

4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x² polinomunun tersi 1/x² ifadesi polinom değildir.

6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R_[x] polinomlar kümesi;

1. (R_[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2. R_[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3. R_[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R_[x], + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)

ê T(x)

-___________

R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

Örnek

P(x) = x⁴-2x² + x 5 polinomunu

Q(x) = x² + 3x – 1 polinomuna bölelim.

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek

Px³ + qx² + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm

1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x³’ün katsayısı 0 olur.

3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.

px³ + qx² + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölüm B(x) = x³ + x² + 2x + 7

Kalan R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek

P(x) = x² – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 2² – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.

O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine

yazılır.

Örnek

P(x) = x³ – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) Polinomunun x² + a, x³ + a, x⁴ + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x² + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x² yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x³ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x³ yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x⁴ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x⁴ yerine –a yazılır.

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + x² + 7x –1 polinomunun, x² + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x² + 2 = 0 Þ x² = -2) polinomda x² yerine –2 yazarız.

P(x) = x² . x² – x² . x + x² + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b Þ P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b Þ P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5

2a + b = 4

Örnek

Bir P(x) polinomunun x² + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x² + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax² + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x² + 2) (x – 1) b(x) + ax² + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x² = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x² – 2x + 8 olur.

DİK ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır.

şekilde, m(A) = 90°

[BC] kenarı hipotenüs

[AB] ve [AC] kenarları

dik kenarlardır.

PİSAGOR BAĞINTISI

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

ABC üçgeninde m(A) = 90°

a²=b²+c²

ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1. (3 - 4 - 5) Üçgeni

Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi

2. (5 - 12 - 13) Üçgeni

Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.

3. İkizkenar dik üçgen

ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2

m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende

hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır.

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni

ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde

ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)

üçgenleri elde edilir.

|AB| = |AC| = a

\|BH\| = \|HC\| =
pisagordan

(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar

hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar,

30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır.

5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni

(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur.

6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni

(15° - 75° - 90°) üçgeninde

hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs

|BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört

katıdır.

ÖKLİT BAĞINTILARI

Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.

h² = p.k

b² = k.a

c² = p.a

3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

a.h =b.c

· Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak

elde edilir.

Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|

|BH| = |HC|

m(B) = m(C)

2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|,

[AH] ^ [BC]

m(B) = m(C)

3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.

|AB| = |AC|

m(BAH) = m(HAC)

m(B) = m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.

|AB| = |AC| Þ |LC| = |HP| + |KP|