a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,
Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
şeklinde gösterebiliriz.
Örneğin,
1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, ...
sayıları, birer rasyonel sayıdır.
Bazı Özellikler:
Her doğal sayı, bir tamsayıdır.
Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1' dir.
a/b = c/b ise, a=c dir.
a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.
a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir.
RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER
1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:
Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.
Örnekler:
2. ÇARPMA İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,
şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,
(a/b)-1 = b/a
şeklinde gösterilir.
Örnekler:
3. BÖLME İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,
şeklindedir. Burada b, c ve d' nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.
Örnekler:
Karışık Örnekler:
olduğuna göre,
toplamının a cinsinden değeri nedir?
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,
olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar.
sayısı,
sayısının kaç katıdır?
Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,
olduğuna göre, a kaçtır?
Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,
yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.
yazılabilir. Buradan,
4x + 5 = x2
x2-4x -5 = 0
Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,
(x-5).(x+1) = 0
yazabiliriz. Böylece,
x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.
Not: 5, 4' ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4' ün yerinde 8 ve 5' in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4' ün yerine a ve 5' in yerine de b koyarsak, şayet b, a' nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur.
işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3' ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,
yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.
Not:
işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.
RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI
Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların, payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür).
7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan, payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, bu rasyonel sayılar
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir.
2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür).
12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız.
Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan, paydası küçük olan daha büyük olduğundan,
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan,
şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz.
3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise,
Şayet, rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha küçüktür.
Şayet, rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha büyüktür.
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, 12/17 rasyonel sayısı, 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
şeklinde yazabiliriz.
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha büyüktür. Bu nedenle, 359/357 rasyonel sayısı, 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
dir.
4) Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir.
10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız.
a=10/11 olsun. O zaman , 1/a=11/10=1,1 olur.
b=100/111 olsun. O zaman , 1/b=111/100=1,11 olur.
Dolayısıyla,
dir. Buradan, b < a bulunur. Ayrıca, a > b şeklinde de yazabiliriz.
5) Rasyonel sayılar, tamsayılardan daha yoğundur. Bu nedenle, iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır. Buna, rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir. Bundan dolayı, rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez. İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:
a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise, bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı,
şeklinde bulunabilir.
1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz.
bulunur. Dolayısıyla,
yazabiliriz.
6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için, bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir.
Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30
1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse, 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur. Dolayısıyla, 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar
6/30, 7/30, 8/30, 9/30, 10/30, 11/30
dir. Buna göre, 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz. Doğru seçenek , (e) şıkkıdır.
Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır. Sonra da ters sıralama yapılarak, negatif değerlerin sıralaması elde edilir. Çünkü, sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa, sıralama sembolü yön değiştirir.
a = -1/3 ve b = -2/7 ise, a ile b' yi sıralayınız.
a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan, işaretsiz olarak ele almalıyız. Yani, 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım. Bu iki kesrin, paylarını eşitleyelim. Bu takdirde, 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa, payları eşit olan kesirlerden, paydası küçük olan daha büyük olduğundan, 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür. Böylece,
olur. Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp, eşitsizliğin yönünü değiştirirsek,
buluruz. Dolayısıyla, a < b dir.
x < 0 olmak üzere, a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Şayet x > 0 olsaydı,
olacaktı. x < 0 olduğu için,
olur.
ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
e) 22/3 < x < 12
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak,
olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından,
22/3 < x < 26
bulunur. Doğru seçenek (c) şıkkıdır.
a=10/11, b=100/111, c=1000/1111
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999, iptal sın.)
a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a
a=10/11=1/1,1
b=100/111= 1/1,11
c=1000/1111=1/1,111
payları eşit olan kesirlerin, paydası en büyük olan daha küçük olduğundan,
a > b > c olur. Doğru seçenek (a) şıkkıdır.
a > 0, b > 0, c > 0 ve
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a
a, b ve c pozitif sayılar olduğundan,
yazabiliriz. Buradan, a=5, b=15 ve c=10 olur. Böylece, a < c < b bulunur. Doğru seçenek (a) dır.
a=7/8, b=10/11, c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b
a ile b kesri basit bir kesirken, c bileşik kesirdir. Bu nedenle, c bileşik kesri en büyüktür. O halde, a ile b yi incelemeliyiz.
Buradan, a < b bulunur. Böylece, a < b < c elde edilir. Doğru 
olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla, aşağıdakilerden hangisindeki sayılar olabilir?
a) 6/45, 11/45, 12/45
b) 4/27, 6/27, 7/27
c) 5/36, 6/36, 7/36
d) 2/18, 5/18, 6/18
e) 7/54, 9/54, 15/54
Bu tür sorularda seçeneklerden gidilmelidir. Kesirlerin paydaları seçeneklerin paydalarına eşit olacak şekilde genişletilmelidir.
a) Bu şıkta paydalar 5 ile genişletilmiştir. O halde, 5 ile genişletirsek
5/45 < a < b < c < 10/45
olur. Burada, b ve c yer almaz. Dolayısıyla, bu seçenek doğru olamaz.
b) Bu şıkta paydalar 3 ile genişletilmiştir. O halde, 3 ile genişletirsek
3/27 < a < b < c < 6/27
olur. Burada da, b ile c bu aralıkta yer almaz. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.
c) Bu şıkta paydalar 4 ile genişletilmiştir. O halde, 4 ile genişletirsek
4/36 < a < b < c < 8/36
olur. Burada, a, b ve c bu aralıkta yer alır. Dolayısıyla, doğru seçenek bu seçenektir.
d) ve e) seçenekleri yukarıdaki nedenlerle doğru seçenek olamaz.
RASYONEL SAYILARLA ARİTMETİKSEL İŞLEMLER
KESİR
a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere kesir adı verilir. Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir. Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını gösteren sayıdır. Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösterir. Örneğin, 2/5 kesri, bir bütünün 5 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını ifade eder.
DENK KESİRLER
a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, ... , 3m/5m, ...
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:
Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:
BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır:
1. Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, ...
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir.
2. Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,
3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, ...
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür.
3. Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,
şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin,
kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz. Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan,
şeklinde yazabiliriz.
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.
kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,
2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur. x doğal sayı olduğuna göre, 15/2' den küçük doğal sayılar,
x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.
