Tümevarım Yöntemiyle İspat Nedir? Tümevarımın Kuralları

Tanım:

Matematikde olmayana ergi yöntemi, doğrudan ispat, dolaylı ispat, örnek göstererek ispat gibi çeşitli ispat yöntemleri vardır. TÜMEVARIM da bir eşitliğin doğruluğunu göstermeye yarayan bir ispat yöntemidir.

Tümevarım yöntemiyle ispat

P(n), n'e bağlı bir hüküm, eğer;
1.ADIM : p(1) doğru ise
2.ADIM : p(n) 'i doğru kabul edelim. Yani P(n) 1 den n'e kadar tüm doğal sayılar için doğru olsun
3.ADIM : p(n + 1) için de doğruluğunu gösterebiliyorsak, P(n) hükmü " n Î N⁺için de doğrudur.

ÖRNEKbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>n ( n + 1 )
1 + 2 + 3 + . . . . + n = ¾¾¾¾ eşitliğinin doğru olduğunu tümevarım yöntemi ile ispat edelim.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> 2

1. ADIM :
bbbbbbbbbbbbb> 1(1 + 1)
n = 1 için P(1) : 1 = ¾¾¾ ® 1 = 1 P(1) doğru
bbbbbbbbbbbbbbbbb>2

2. ADIM :
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> k(k+1)
n = k için P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k = ¾¾¾ ifadesinin doğruluğunu kabul edelim.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>2

3. ADIM :
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> (k+1)(k+2)
n = k + 1 için P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = ¾¾¾¾ önermesinin doğruluğunu gösterelim. Bunun için P(k) varsayımından hareket ederek eşitliğin her iki
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>2
tarafına (k+1) ilave edelim.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> k(k+1)bbbbbbbbbb> k(k+1) +2(k+1) (k+1)(k+2)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = ¾¾¾¾ + (k+1) = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>2bbbbbbbbbbbbbbbbb>2bbbbbbbbbbbbb>2

O halde, P(k+1) önermesi de doğrudur.

å , Õ (toplam ve çarpım) simgeleri:

n
å a_k = a₁ + a₂ + . . . + a_n k'nın , 1'den n'e kadar değerleri için a sayılarınınTOPLAMI
^k=1

n
Õ a_k = a₁ . a₂ . . . . . a_n k'nın , 1'den n'e kadar değerleri için a sayılarının ÇARPIMI
^k=1

Özellikleri içeren Ö R N E K L E R

5 å k = å (k-1) = å (k-1) k=0 k=0+1 k=1 5+1 6

10 å k = å (k+4) = å(k+4) k=5 k=5-4 k=1 10-4 6

10 å k = å (k-6) = å (k-6) k=-5 k=-5+6 k=1 10+6 16

5 å m = 5 . m k=1

p å 3 . k = 3 . å k k=1 k=1 p

5 Õ k = 1.2.3.4.5 = 5 != 120 k=1

5 Õ k = 3.4.5 = 60 k=3

4 Õ m = m4 = m.m.m.m k=1

TÜMEVARIM İspat yöntemiyle kanıtlanan toplam formülleri

n .................................. ............... n (n+1) å k = 1 + 2 + 3 + . . . + (n-1) + n = ¾¾¾ k=1 .................................................... 2	n å (2k-1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n-1) = n2 k=1
n å 2k = 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n (n+1) k=1	n ............................................................. n (n+1)(2n+1) å k = 1 2+ 2 2 + 3 2 + . . . + (n-1) 2 + n 2 =¾¾¾¾¾¾ k=1 ....................................................................6
n ............................................................... n (n+1) å k = 13+ 2 3 + 3 3 + . . . + (n-1) 3 + n 3 = [¾¾¾ ] 2 k=1 .................................................................2	n ............................................ 1 - rn å k = 1 + r + r 2 + . . . + r n-1 = ¾¾ { r ¹ 0 ; r ¹ 1 } k=1 .......................................... 1 - r

Read more