İslamiyet Öncesi ve Sonrası Türk Edebiyat Tarihi, Destanlar

TÜRK EDEBİYATI TARİHİ

Türk edebiyatı tarihi, Türklerin kültür değişimlerine göre üç ana grupta incelenir:

• İslamiyetten Önceki Türk Edebiyatı
• İslam Etkisindeki Türk Edebiyatı
• Batı Etkisindeki Türk Edebiyatı

Elbette bu üç grubu kesin hatlarla birbirinden ayırmak mümkün değildir. Çünkü İslam etkisine girince eski edebiyat tamamen yok olmadığı gibi Batı etkisine girince de İslami edebiyat bitmemiştir. Ancak genel tercihin değişmesi, bu ayrımı ortaya koyar.
Bu ana grubun içinde de değişik anlayışların oluşturduğu ayrılmalar görülür. Bunları bir şema halinde gösterelim.

Şimdi bu dönemleri ayrıntılarıyla görelim;
İSLAMİYETTEN ÖNCEKİ TÜRK EDEBİYATI
Tarihin karanlık devirlerinden, İslamiyetin kabul edildiği 8. – 10. yüzyıla kadar sürer . Bu edebiyatı kendi içinde iki gruba ayırabiliriz.
1. Sözlü Edebiyat
Henüz yazı yokken , Türk toplumlarında ozan denen saz şairleri bulunurdu. Bunlar, dini törenlerde ve bütün sosyal etkinliklerde şiir söyler, destan okurlardı. Böylece dilden dile dolaşan bir şiir geleneği oluşmuş, tarih boyunca tüm kültür değişmelerine rağmen yok olmayan bu gelenek günümüze kadar sürmüştür.
Bu edebiyatın genel özelliklerini şu şekilde maddeleştirebiliriz:

• Asıl ürününü doğal destanlar dediğimiz tür oluşturur.
• Sığır (av törenleri), şölen (dini ayinler), yuğ (ölen kişinin ardından yapılan törenler) adı verilen toplantılardan doğmuştur.
• Ozan, baksı, kam denen kişilerce, saz eşliğinde söylenir.
• Şiirlerde hece ölçüsü kullanılmış, bunların yedili sekizli ve on ikili olanları tercih edilmiştir.
• Dörtlük nazım birimi kullanılmıştır.
• Daha çok yarım kafiye ve redif kullanılmıştır. Bazı şiirlerde kafiye, dize başlarında görülmekle birlikte, sonlarda kullanılması daha yaygındır.
• Nazım şekli olarak, sav, sagu ve koşuklar görülür. Sav, atasözü özelliği gösteren şiirlerdir. Şiir şeklinde olmayan savlar da vardır. Sagu ölen kişinin ardından söylenen ağıtlardır. Koşuk; aşk, hasret, doğa güzelliği hakkındaki şiirlerdir.
• Dil yabancı tesirlerden uzak, saf bir Türkçedir./span>

Sözlü edebiyatın en önemli kaynağı destanlardır. Dünya edebiyatları içinde destanlar yönüyle en zengin edebiyat Türk edebiyatıdır. Diğer milletlerin bir veya iki destanı varken Türklerin bunlardan kat kat fazla destanı vardır.
Destan, milletin hayatını derinden etkileyen büyük savaşlar, göçler, istilalar sonucunda oluşur. Eğer tarihin karanlık devirlerinde, halk arasında oluşmuş ve sonradan bir şair ya da yazar tarafından yazıya geçirilmişse doğal destan adını alır. Millet hayatında önemi olan bir olayı bir şair ya da yazar kendisi destanlaştırmışsa buna da yapma destan denir.
Elbette bir milletin tarih zenginliğini doğal destanlar ortaya koyar. Bu yönüyle Türk destanları bir hayli önemlidir.
Türk destanları iki gruba ayrılır: İslamiyetten önceki destanlar ve İslamiyetten sonraki destanlar.
İslamiyetten Önceki Destanlar
Alp Er Tunga Destanı
M.Ö. VII. asırda Türk – İran savaşlarında ün kazanmış, İran ordularını defalarca mağlup etmiş bir Türk hükümdarını anlatır. Daha sonra İranlılar tarafından hile ile öldürülmüştür. Onun İran destanındaki adı Afrasyab’dır. Alp Er Tunga’nın ölümünde söylenmiş bir sagu Divan-ı Lügat’it Türk’te bulunmuştur. Ancak bununla ilgili asıl bilgi Şehname adlı İran destanında vardır.
Şu Destanı
Şu adındaki bir hükümdarın Büyük İskender’in Türk illerine yürüyüşü sırasında onunla yaptığı savaşları anlatır. Sonunda Şu, İskender’le anlaşır ve Balasagun yöresine yerleşir. Bazı Türk boylarının adlarının nereden geldiğinin izahı yönüyle önemlidir. Eski Saka devletinde hükümdarlara Şu adı verilmesi dolayısıyla, bu destan Saka destanı olarak da bilinir.
Hun – Oğuz Destanları
Eski Türk devletlerinden tarihini en iyi bildiğimiz büyük devlet Hunlardır. İki destanları vardır. Doğu Hunları temsil eden Oğuz Kağan ve Batı Hunları temsil eden Attila destanlarıdır.
Oğuz Kağan Destanı
Oğuz Kağan adlı bir hükümdarın savaşlarının anlatıldığı en önemli Türk destanlarındandır. M.Ö. II. asırda doğmuştur. Birçok değişikliğe uğramış, birçok katkılarla değişmiştir. Destanda Türklerin bazı boylarının isimlerinin nereden geldiği anlatılır. Oğuz Kağan’ın halkına değişik hedefler göstermesi de dikkate değer bir husustur.
Attila Destanı
Batı Hun Hükümdarı Attila’nın fetihleri etrafında oluşmuştur. M.S. V. asırda Avrupa’ya korkulu yıllar yaşatan Attila, Rusya’dan Fransa’ya kadar bütün Avrupa’yı almış, Roma’ya kadar uzanmıştır. Evlendiği gece çok içtiğinden burun kanamasıyla ölmüştür. Destanda onun ölümüyle ilgili söylenen ağıtta bir ölüm feryadı değil, kahramanlıklar anlatılmıştır.
Gök – Türk Destanları
Tarihte kurdukları devlete Türk adını veren ilk Türkler; Gök-Türkler’dir. M.S. V. asırdan VIII. asra kadar Ortaasya’yı ellerinde tutmuşlardır. Gök-Türklerin devlet kurmadan önceki yaşayış ve inançlarını anlatan iki destanları vardır: Bozkurt Destanı ve Ergenekon Destanı.
Bozkurt Destanı
Destanın esası yok olma felaketine uğrayan Gök-Türk soyunun yeniden dirilip çoğalmasında bir Bozkurt’un Anne Kurt olarak etkili olmasıdır.
Ergenekon Destanı
Düşmanları tarafından yenilen Türkler, yok olma aşamasına gelmişti. Düşmanın elinden kaçabilen iki aile, yolu izi olmayan Ergenekon’a gelmiş orada dört yüz yıl büyüyüp çoğalmış ve demir dağı eritip Ergenekon’dan çıkmışlar; atalarının düşmanlarını yenip Gök-Türk devletini kurmuşlardır. Destanın en önemli özelliği tarihle benzerlik göstermesidir. Türklerin demiri işleyen ilk kavim olduğunu anlatması da önemlidir.
Dokuz Oğuz – On Uygur Destanları
Dokuz Oğuz boyuyla On Uygur boyu birleşip tek bir boy haline gelmişlerdir. İki destanları vardır: Türeyiş Destanı ve Göç Destanı.
Türeyiş Destanı
Destana göre eski Hun hükümdarının iki kızı vardı. Hükümdar, kızlarının tanrılarla evlenmelerini istiyordu.
Bu yüzden onları insanlardan uzak bir yere bıraktı.
Tanrı nihayet Bozkurt şeklinde geldi ve kızlarla evlendi. Bu evlenmeden bozkurt ruhu taşıyan Dokuz Oğuz – On Uygur çocukları doğdu.
Göç Destanı
Uygurların hükümdarının Çinlilerle savaşmamak için Çin prensesiyle evlenmek istemesi ve Çinlilerin bu prenses karşılığında Türklerce kutsal sayılan bir taşı almalarını anlatır. Taş gidince Uygur ülkesine felaket çöker. Uygur halkı Beş Balıg denilen yere yerleşir. Destanın en önemli özelliği değersiz bir kaya parçasının bile hiçbir şey uğruna düşmana verilmeyeceği inancını anlatmasıdır.
İslamiyetten sonraki destanları Halk edebiyatında anlatacağız.
Türklerden başka milletlerin de tarihi destanları vardır: Bunlar doğal destanlardır.Bunları şu şekilde sıralayabiliriz.

Sponsorlu Baglantilar

-->
Almanların Nibelungen
Finlilerin Kalevala
Fransızların Chanson de Roland
İngilizlerin Robin Hood
Yunanlıların İlyada ve Odysse
Rusların İgor
Hintlilerin Mahabarata ve Ramayana
İranlıların Şehname
Japonların Şinto
2. Yazılı Edebiyat
Türklerin yazılı eserler ortaya koymasıyla başlar. Yazılı Türk edebiyatının, bugün elimizde sağlam vesikaları bulunan başlangıcı M.S. VIII. asra aittir. Bu vesikalar ilk ulusal alfabemiz olan Gök-Türk yazısıyla yazılmış Gök-Türk yazıtlarıdır. Yazıtlardaki alfabenin işlenmişliğine bakılırsa bu yazı dilinin çok eski çağlarda da kullanılmış olması muhtemeldir. Nitekim V. asırda yazıldığı söylenen ve Kırgızlara ait olduğu bilinen Yenisey Yazıtlarında da aynı alfabenin kullanıldığı görülmektedir.
Gök-Türk Yazıtları (Orhun Abideleri)
Türk edebiyatının ilk yazılı örnekleri, taşlar üzerine yazılarak bırakılmış eserlerdir. Bunlar üç taş halindedir. Bunlardan birincisi 720 yılında Tonyukuk tarafından diktirilen ve yine Tonyukuk tarafından yazdırılan taştır. Diğer iki kitabeden birisi 732 yılında Kültigin adına, diğeri 735 yılında Bilge Kağan adına dikilmiştir.
Yazıtlarda kullanılan dil, yabancı tesirlerden uzak, sade bir dildir. Yer yer realist bir tarih dili, yer yer milli ve sosyal eleştiri cümleleri, yer yer kudretli bir hitabet dili ile yazılmıştır.
Yazıtlarda Türk milletinin benliğini unutmaması gerektiği, düşmanın tatlı sözlerine, hediyelerine aldanmayıp vatanın birlik ve beraberliği için çalışılması gerektiği anlatılmıştır. Yazıtlar aynı zamanda Türk boylarının isimlerini içeren yazılı bir belgedir.
Yazıtlardan XIII. yüzyılda Cüveyni, “Tarih-i Cihangüşa” adlı eserinde söz etmiş ancak bu pek ilgi görmemiştir. Yazıtları Avrupa ilmine ilk kez Strahlenberg isimli bir İsveç subayı tanıtmıştır. Yazılar ise 1893′te Danimarkalı Prof. Thomsen tarafından çözülmüştür. 1922′de tamamı okunarak yayınlanmıştır.
Türklerin İslamiyetten önce kullandıkları bir diğer alfabe de Uygur alfabesidir. Bu, Uygurların oluşturduğu bir alfabe olmayıp Mani dinine mensup Soğdak yazısıdır. Uygurlar Mani dinini kabul edince o dinin alfabesini de kabullenmişlerdir. Bu alfabeyle yazılan Altun Yaruk ve Sekiz Yükmek adlı eserler Budizm’i anlatan dini metinlerdir.
İslam Etkisindeki Türk Edebiyatı
İslamiyetin Kabulü, Türklerde büyük değişiklikler yaptı. Yaşayışları, kültürleri yeni dinle şekillendi ve dolayısıyla bu, sanatlarında da oldukça geniş bir değişiklik yaptı. Bu sırada İslamı yerinde öğrenmek için birçok Türk aydını Arap ve Fars diyarlarına gitti. Burada Arapça ve Farsçayı çok iyi öğrenen aydınları, bu dillerin son derece gelişmiş ince edebiyatları büyük ölçüde etkiledi. Bu edebiyatı Türkçe’ye uygulamak istediler ve böylece yeni bir edebiyatın başlamasını sağladılar. Sonuçta Batıyla tanışana kadar sürecek yaklaşık on asırlık bir edebiyat başlamış oldu.
İlk Sanatçılar ve İlk Eserler
İslamiyetle VIII. yüzyılda tanışmasına rağmen Türklerin elimizde bulunan ilk İslami eserleri XI. yüzyılda yazılmıştır. Ancak bunlara ilk İslami eser demek de zordur. Çünkü eserlerdeki üslup, onlardan önce bu tarz eserlerin olduğu izlenimi vermektedir. Ancak bunlar tarih içinde kaybolmuştur. Belki tarihi araştırmalar ileride daha eski örnekleri ortaya çıkarır.
Şimdi elimizde bulunan ilk İslami eserleri inceleyelim.
Kutadgu Bilig
Yusuf Has Hacib tarafından yazılan bu eser elimizdeki en eski İslami eserdir.
Kutluluk bilgisi, saadet bilgisi, devlet olma bilgisi anlamındadır. Kitap gerek fert olarak gerekse toplum halinde yaşayan insanların, iyi bir siyasetle idare edilip, dünyada ve ahirette mesut olabilmeleri için tutulacak yolları gösterir. Bu yönüyle bu kitaba bir “siyasetname” denebilir. Eser mesnevi nazım biçimiyle yazılmış olup 6645 beyittir. Aruz ölçüsüyle yazılan beyitler dışında, Türk şiirine has dörtlükler, cinaslar da görülür.
Hakaniye lehçesiyle yazılmış olan eserde kelimelerin çoğu Türkçe olmasına rağmen özellikle dini terimlerin Arapça olduğu görülür. Az da olsa Farsça sözcüklere rastlamak da mümkündür. Eserde dört şahıs konuşturulur. Aslında bunlar sembolik şahıslardır. Bunlardan Güntoğdu adlı hükümdar, adaleti; Aytoldı adlı vezir, saadeti; Öğdülmüş adlı vezirin oğlu aklı; Odgurmuş adlı bir dindar da kanaat etmeyi temsil eder.
Eser 1070 yılında Tabgaç Buğra Han’a sunulmuştur.
Divan-ı Lügat’it Türk
Kaşgarlı Mahmut tarafından yazılan bu eser Türkçenin ilk sözlüğü ve dilbilgisi kitabıdır. Ancak hazırlanışı ve içindekiler bakımından devrinin dili, tarihi, coğrafyası ve sosyolojisi hakkında değerli bilgilerle zengin bir milli kültür hazinesidir.
Eser, Türk dilini Araplara öğretmek amacıyla yazılmış, bu nedenle Arap diliyle kaleme alınmıştır. Arapça olmakla beraber içinde o devir için çok sayıda Türkçe kelime ile Türk Halk edebiyatından ve halk dilinden alınmış çok sayıda şiir örnekleri, Türkçe deyimler ve atasözleri vardır. Türkçe kelimelerin sayısı 7500′den fazladır.
Divan-ı Lügat’it Türk’teki Türkçe örnekler, Gök-Türk yazıtlarından bu yana bize kadar ulaşan en eski Türk edebiyatı hatıralarıdır. Bunlar arasında koşuklar, sagular, destan parçaları vardır.
Atabet’ül Hakayık
Edip Ahmet Yükneki tarafından yazılan bu eser Kutadgu Bilig’den yarım asır sonra gelir. Kitabın adı “Hakikatlar eşiği” anlamına gelir. Eser Sipehsalar Mehmet Bey adlı birine sunulmuştur.
Bütünü, gazel şeklinde söylenmiş 46 beyit ve 101 dörtlükten oluşur. Aruz ölçüsüyle ve Kutadgu Bilig’in kalıbıyla yazılmıştır.
Eserin konusu tamamen dini ve ahlakidir. Yazar, bu eserle didaktik bir vaaz ve nasihat kitabı yazmak istemiştir. Eserde dindarlığın faziletlerinden, ilmin mutluluğa götüren yol olduğundan söz edilir.
XI. asırda yazılan bu üç eserle, Türk edebiyatına yeni bir kapı açılmıştır. Artık Türk aydınının önünde Arap ve Fars edebiyatları gibi iki klasik edebiyat vardı.
• • •
Ancak aydınların bu tercihinin, halkın tümüne yayıldığını söylemek zordur. Halk arasında ozan denilen saz şairleri etkisini hiç kaybetmemiş, özellikle göçebe boylar arasında aynı işlevini sürdürmüştür. Ancak müslüman olan ozanların şiirlerini, destan ve koşuklarını İslami motifle süslememeleri beklenemezdi. Bunun açık tesirini İslamiyetten sonra oluşan Türk destanlarında görüyoruz. Bunlardan önemlileri şunlardır.
Satuk Buğra Han Destanı
Müslüman olan ilk Türk devletini kuran Satuk Buğra Han’ı anlatan destan, birtakım olayları ve coğrafi mekanları doğru vermesine rağmen tarih kabul edilemeyecek kadar destansı ve hayali motiflerle süslüdür. 9. ve 10. asırda oluşmuştur. Eski Türk destanlarındaki motifler İslami anlayışla değiştirilmiş ve müslümanlarla kafirlerin savaşı haline dönüşmüştür.
Manas Destanı
Kırgız Türkleri arasında 11. ve 12. asırlarda oluşmaya başlamış, kısa zamanda büyük bir Türk destanı halini almıştır. Destanda Manas adlı bir kahramanın kafirlerle savaşları anlatılır. Elbette halk kültüründe oluştuğundan eski destanlardan motifler de alınmıştır. Destan Kırgız Türkçesiyle yazılmıştır.
Cengiz Destanı
Ortaasya’da 13. asırda oluşan ve Moğol hükümdarı Cengiz’in hayatını ve savaşlarını anlatan destandır.
• • •
İslamiyetin kabulünden sonra Ortaasya’da görülen bir diğer edebiyat da Tasavvuf edebiyatıdır.
Tasavvuf, İslamiyeti yaymak için kurulan tekke ve tarikatların oluşturduğu bir akımdır. Tek amacı Allah’ı tanıtmak, sevdirmek, hissettirmektir. Bu amaçla ilk tarikat Ortaasya’da 12.yüzyılda görülür. Bu tarikatı kuran ve hemen yaşadığı asırdan başlayarak binlerce Türk insanı üzerinde asırlar boyu, derin tesir bırakan ilk büyük mutasavvıf Hoca Ahmet Yesevi’dir.
Hoca Ahmet Yesevi
Yesevi çok sevilen tarikatıyla, Ortaasya Türkleri arasında İslamın yerleşip genişlemesini sağlamıştır. İslamla ilgili sözlerini Divan-ı Hikmet adını verdiği kitapta toplamıştır.
Bu eserdeki şiirler dil, ölçü, şekil gibi dış unsurları bakımından halk şiirine yakındır. Sade bir Türkçeyle 7′li ve 12′li hece kalıplarıyla söylenen bu şiirler dörtlükler halindedir. Ancak çok az da olsa aruzla söylenen dörtlükler de vardır.
Divan-ı Hikmet bu dönemde ele geçen diğer eserler gibi Hakaniye Lehçesiyle yazılmıştır. Eserde Allah aşkına, peygamber sevgisine, ibadete, cennet ve cehenneme, Allah’tan başkasına duyulan sevginin gönülden çıkarılmasına dair birçok manzume sıralanmıştır.
Yesevi’nin tarikatında eğitilmiş birçok mürit göç eden boylarla beraber Anadolu’ya gelmiş, tarikatın öğretilerini burada yayarak yeni tarikatlerin kurulmasına katkıda bulunmuştur.
• • •
1071 Malazgirt Zaferi’nden sonra Türklere Anadolu’nun kapıları tamamen açılmış ve Türk boyları akın akın Anadolu’ya göç etmiştir. Özellikle 12. yüzyılda yoğun bir göç dalgası Anadolu’nun tümüne yayılmış, müslüman Türk nüfusu bir hayli artmıştır. Elbette bu nüfusla beraber büyük bir kültür ve medeniyet de gelmiş, Ortaasya Türk kültürü yeni bir koldan gelişmeye başlamıştır. Yaklaşık iki yüz yıl Anadolu’ya yerleşmeye çalışan Türkler bundan sonra yeni eserler vermeye başlamış ve böylece “Anadolu Türk Edebiyatı” başlamıştır.

Read more

Yunus Emrenin Fikri ve Edebi Yönü Nedir?

Yunus Emre Allahı övmek ona duyulan sevgiyi dile getirmek için yazılan ilahilerin öncüsüdür yani dinle ilgili eserler verir.Dini Tasavvufi şiirin en büyük temsilcisidir. Eserlerinde de Allah aşkını, insan sevgisini dile getirirMutasavvıf şairlerimizdendir. Edebi yönüne baktığımızda en çok göze çarpan kullandığı sudan duru Türkçe’dir. Yüzyıllar önce yazmasına rağmen bugün bile çok rahat anlayabileceğimiz bir dili vardır Yunus’un.
Şiirlerinin tamamından Allah ve Peygamber aşkını anlatmakta, insanları İslamiyet konusunda bilgilendirmeye çalışmaktadır.

YUNUS EMRE’NİN HÜMANİZMASI

Türk şiir ve düşünce tarihinin ilk ulu kişilerinden biri – belki de birincisi – olan Yunus Emre’nin sanatı, kendi çağında üç boyutuyla doruğa ulaşmış, sonraki yedi yüzyıl boyunca yine aynı üç boyutuyla dipdiri kalmıştır:

1. Duru söyleyişlerden duygu coşkunluğuna kadar değişen bir lirzmle dile getirilmiş sevgi, inanç, kaygı şiirleri…
2. Yaşayan Türkçeyi, halkın öz dili olanca kıvraklığı, derinliği ve rengiyle kullanışı…
3. İnsanlık değerlerine inanan, yobazlığı kınayan, Tanrı ve insan sevgisine dayanan hümanizması…

Bu üç boyut, duygu – dil – değer zenginliği olarak da tanımlanabilir. Yunus Emre’nin çağlar boyu büyüklüğü, kendisinin ve ulusal kültürünün düşünce ve değer niteliklerini bir bütün olarak alıp geliştirmesinden ve gerek şiirsel söyleyişte, gerek felsefede evrensel olmasından doğmuştur.

Türk şiirinin uzun tarihi boyunca, halk şiirinde Yunus çapında bir ozan yetişmiş değildir. Tasavvuf şiirinde, Yunus’tan ancak iki yüz elli yıl sonra Fuzuli, hemen hemen beş yüzyıl sonra da Şeyh Galip, aynı doruğa varabilmiştir, ama yine de Yunus – Arapça ve Farsça sözlere çok daha az yer verdiği ve tertemiz bir Türkçe kullandığı için – bize Fuzuli ve Galip’ten daha özgüdür. Hümanizma da ise Yunus Emre’nin çapında 19. yüzlılın sonlarında Tevfik Fikret’in açtığı çığırla ve 20. yüzyılda gelişen “insanlık anlayışı” ile varılabilmiştir.

Denilebilir ki, Türk şiirinde en geniş ve en başarılı sentezi Yunus Emre yapmıştır. Yunus’un sanatı, halk şiirinin niteliklerini ve temalarını bütünüyle kapsamış, Türk tasavvufunun en özlü örneklerinden birçoğunu vermiş, Anadolu Türkçesine yeni bir ruh ve estetik getirerek diri kalmasına yardım etmiş, Türk boylarının İslamiyeti benimsemesinden çok daha önce başlamış olan Türk hümanizmasını, İslamiyetin ahlak kavramlarıyla ve insan değerleriyle geliştirerek güçlendirmiş ve yaşatmıştır.

Hayatı duygu dünyası, tasavvuf yönü, dili ve üslübu bakımından geniş ilgi toplayan ve derinlemesinde değerlendirilen Yunus Emre’nin sanatındaki en önemli ve en güçlü unsurlardan biri – hümanist düşünce – şimdiye kadar ihmale uğramıştır. 1971 Eylülünde Akbank’ın düzenlediği “Uluslararası Yunus Emre Semineri” bu boşluğu gidermiştir. Yunus Emre’nin düşüncesindeki “insan değeri” ve “insanlık” kavramları, hem Türk hümanizmasının temelidir, hem de dil, din, ırk, mezhep bölüntülerine karşı çıkan evrensel bir nitelik taşımaktadır. Yunus’un hümanist şiirleri bir araya gelince, hem Türk kültür tarihinin en sağlam barışlarından biri, hem de çağımızdan yedi yüzyıl önce yaşamış bir hal ozanımızın önce Rönesans hümanizmasını, sonra da Batıda 18. yüzyıldan beri gelişen modern hümanizmayı müjdelemiş, hatta onların hala erişemediği bir düşünce olduğuna ve şiirli söyleyiş gücüne ulaşmış olduğu görülüyor.

İnsanı dünyanın ölçüsü kabul eden ve yer yüzündeki varlığında değer ve önem bulan hümanist düşüncenin kökleri, elbette Yunus Emre’den çok önce başlamıştı. Milattan önce 5. yüzlılda Protagoras, insanın var olan ve olmayan her şeyin öncüsü olduğunu belirtmişti. Doğuda Konfüçyüz ve Buda inançları, tanrısal ve insancıl değerleri bağdaştırıyordu. Sokrates, insanın kendisini tanıması üzerinde dururken hümanist düşüncenin temellerinden birini kurmuştu. Hıristiyanlık ve İslamlık da, dinsel hümanizmanın bellibaşlı kavramlarını getirdi, ama her iki dinin sonraki bağnaz ve yobaz yorumcuları, hümanist değerleri çiğnemeye kalkıştılar. Bu dinsel yozlaşmaya Orta Doğu’da çeşitli mezhepler – özellikle sufi tarikatlar – karşı gelmeye başladı. Yunus Emre’ye en yakın ve hümanizması üzerinde en etkili olan mutasavvıf, Mevlana Celalüddin-i Rumi idi. Yunus, Mevlana’dan tasavvufi hümanizmanın birçok unsurlarını Anadolu’nun başka bir manevi aydınlığı olan Tapuk Emre’den ise insancılığın heyecanını aldı.

Yunus Emre’nin hümanizması, yeni ve etkisiz doğmuş bir felsefi sistem değildir, Doğunun ve Batının yüzyıllar boyunca geliştirdiği hümanist düşüncelerin bir sentezidir. Yunus’un şaheseri olan bu sentezi, önceki hiçbir peygamberde, düşünürde, sanatçıda, şairde bulmak mümkün değil… Türk ozanı, eski Yunandan ve Roma’dan, Doğu dinlerinden, eski Türklerin insancı düşüncesinden, İslamiyetin öz değerlerinden, içinde yaşadığı bölgedeki sufilerden aldığı hümanist kavramları birleştirerek bir Türk hümanizması yaratmış ve onu Anadolu’nun yaşayan Türkçesiyle ve şiirsel boyutlarla işleyerek Türk toplumuna ve Türk kültürüne sürekli ve etkili bir ahlak olarak armağan etmiştir. Yunus’un sentezi kendisine ve Türk duyarlığına özgüdür. Yunus’taki hümanizma kapsamına Batı kültürü ancak Yunus’tan yüzyıl sonra ulaşabilmiştir. Aynı kapsamı, Rönesans’ta kolektif bir çaba ile gerçekleştirmek mümkün olmuştur; oysa bizim Yunusumuzun eseri, tek bir ozanın dehasından doğmuştur. Dünyanın hümanizma tarihinde Yunus’un önemi, bunun içinde de üstündür.

Yunus Emre, hümanizma sentezini sadece Batıdaki uyanıştan önce yapmış olmakla değil, insanlar arasında düşmanlıkların ve bölününtülerin kol gezdiği bir çağda yaratılmasıyla da hayranlığımızı kazanmıştır. Yunus, insanlık sevgisini ve yeryüzü birliği anlayışını Moğolların yaptığı akınları ve üstüste kaç Haçlı seferinin allak bullak ettiği bir bölgede, İslam – Hıristiyan düşmanlıklıkları ve İslamiyet içinde korkunç mezhep kavgaları sürüp giderken dile getirmişti. Yıkıntı, kan, öç ve kin çağında, Yunus insanlar arasında kardeşliğin ve yeryüzünde barışın, birleşmenin, dayanışmanın değerlerini belirtiyordu.

Yunus’un hümanizması, insanın yeryüzündeki en önemli gerçek olduğu ve Tanrıyı kendi içinde taşıdığı kavramdan başlayarak manevi yaşantının kalıplaşmış dine üstün olduğu, sevginin ve barışın en güçlü ahlakı yarattığı, insan değerine ve haysiyetine bel bağlamak gerektiği, bütün dinleri ve bütün ulusları bir tutmak ve bağdaştırmak ülküsünün en dürüst ilke olduğu gibi temel hümanist düşünceleri yoğun ve ahenkli şiirlerle yaymıştır.

Türk ozanı, Allah’a inanan ve İslamiyetin yobazlar elinde yozlaşan yorumlarını reddedip öz değerlerini benimseyen gerçek bir “mümin” dir. Hümanizması Tanrıyla başlar, Tanrıyla biter. Türk şiirinde ilk defa Tanrıyı insanlaştıran ve insanı Tanrılaştıran ozan, Yunus Emre olmuştur. Bugünün Türkçesiyle yazılmış gibi duru ve akıcı bir şiirinde, Yunus Tanrıyı uzun uzun aradıktan sonra insanın canevinde bulduğunu anlatmıştır:

Bu tılsımı söyleyen

Türlü dilde söyleyen

Sığmış bu can içinde

Çok aradım özledim

Yeri göğü aradım

Çok aradım bulamadım

Buldum insan içinde

Tanrıyı “insan” da, “can içinde” bulan Yunus, insanı Tanrı gibi ya da Tanrıyı insan gibi konuşturmuştur:

Evvel benim ahir benim canlara can olan benim

Bu tanrı – insan ilişkisi, Yunus’ta insana inanç ve sevgi olarak kendini gösterir:

Yaratılmışı severiz

Yaratandan ötürü

Yunus’un hümanizmasında, inancın manevi yaşantısıdır önemli olan:

Ararsan Mevlanayı kalbinde ara

Kudüste Mekkeden Hacda değildir

Yunus Emre der Hoca

Gerekse var bin hacca

Hepsinden iyice

Bir gönüle girmektir

Yüz Kabeden yeğrektir

Bin gönül ziyareti

İnsan değerlerine ve haysiyetine inanan hümanist, güçlünün zayıfı hırpalamasını, zenginin yoksulu sömürmesini, imtiyazlının bahtsızı ezmesini kınar:

Gitti beyler mürüveti

Binmişler birer atı

Yediği yoksul eti

İçtiği kan olusar

“Aşk gelicek cümle eksikler biter” diyen Yunus Emre’nin hümanizması, Tanrıyı, insan değerini, var olmanın sevincini kutlar ve insan haysiyetine saygı, manevi yaşantıya inanç, dinlerin çerçevesini aşan bir Tanrı anlayışına bağlılık, insanın kardeşliğine güvenç ve her zaman, her yerde sevgi ilkelerine dayanan bir düşünce ve ahlaktır. Bu üstün ahlakın özünü Yunus üç satırda vermiştir:

Düşmanımız kindir bizim

Biz kimseye kin tutmayız

Kamu alem birdir bize

kaynak; sevgiadasi.com

Read more

Polinomlar, Polinom Çeşitleri ve Özellikleri | Konu Anlatımı

a₀, a₁, a₂, ....a_n-1, a_n Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + .... + a₁ x + a₀ şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1.      a_n xⁿ, a_n-1 x^n-1, ...., a_k x^k, ....., a_yx, a₀ ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

2.      a_n, a_n-1, ...., a_k, ...., a_y, a₀ reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

3.      P(x) polinomunda a_nxⁿ terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

4.      Derecesi en büyük olan a_nxⁿ terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a₀ sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

5.      P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... + a₁x + a₀ şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + .... + a_n-1x^n-1 + a_nxⁿ biçiminde sıralanır.

6.      Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R_[x]  ile gösterilir.

Örnek:

P(x) = 2x^5-3/n +x^n-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3  Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x^5-3/3 + x^3-2 + 4

P(x) = 2x⁴ + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x³y² – 2x⁴ y³ + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y)  dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek

P(x, y) = 2x²y⁴ – 3x³y⁵ + x²y³-y⁵ + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x²y⁴ teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x³y⁵ teriminin derecesi 3 + 5 =8

x²y³ teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y⁵ teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek

P(x) = x³ – 3x² + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 2³ – 3.2² + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 0³ – 3.0² + 4.0 – 2 = - 2  bulunur.

P(1) = 1³ – 3.1² + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ polinomunda,

a_n = a_n-1 = ... = a₁ = a₀ = 0 ise; P(x) = 0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x² + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek

P(x) = (m + 3)x² + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0,      n – 5 = 0,      t = 0 ;

m = -3,           n = 5,      t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ polinomunda, a_n = a_n-1 = ... = a₁ = 0 ve a₀ ¹ 0 ise; P(x) polinomuna,sabit polinom denir.

0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x + a₀ sabit polinomu, a₀ ile  gösterilir.

x⁰ = 1 olduğundan; a₀ sabit polinomu, a₀x⁰ biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) = A – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,

A(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ ve

B(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₂x² + b₁x + b₀  polinomları için;

A(x) = B(x) Û a_n = b_n, a_n-1 = b_n-1, ... , a₂ = b₂, a₁, a₀ = b₀ dır.

Örnek

A(x) = 5x³ + (a + 1x² + d,

polinomları veriliyor.

A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R ® R

x ® P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀  fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R ® R

x ® P(x) = 5x³ + 2x² – 3x + 1  ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek

P(x) = x² + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)² + 2(x-1) + 1

= x² – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x²

P(x-1) = x² olarak bulunur.

II: Yol:

Önce P(x) = x² + 2x + 1 = (x+1)² olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)² = x² bulunur.

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x³ – 2x² + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(x+2) = x³ - 2x² + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ  h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) =  (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

P(h) = (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

P(x) = (x – 2)³ – 2(x – 2)² + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = a_nx_n + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀    polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀  katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek

P(x) = 2x⁴ + 5x³ – 3x² + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.1⁴ + 5.1³ – 3.1² + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4  bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

B(x) = b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir. 

A(x) + B(x) = a₄ x⁴ + ( a₃ + b₃ ) x³ + ( a₂ + b₂ ) x² + ( a₁ + b₁ ) x + a₀ + b₀

Örnek

P(x) = x³ + 2x² – 3x + 1, Q(x) = 3x² + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm

P(x) + Q(x) = x³ + (2+3) x² + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x³ + 5x² + (Ö3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1.      Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4.      Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5.      Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için,  P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek

Çözüm

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

a_nxⁿ ile b_kx^k teriminin çarpımı

a_nxⁿ . b_kx^k = (a_n . b_k) x^n+k dir.

Yani (5x³) . (-2x⁴) = 5 . (-2) x³⁺⁴ = -10x⁷

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek

A(x) = 3x⁴ + 1,   B(x) = x² + x

C(x) = x² – x + 1  polinomları veriliyor.

a)      A(x) . B(x)

b)      B(x) . C(x)  çarpımlarını bulunuz.

Çözüm

a)      A(x) . B(x)  =  (3x⁴ + 1) . (x² + x)

=  3x⁴ . x² + 3x⁴ . x + x² + x

=  3x⁶ + 3x⁵ + x² + x

b)      B(x) . C(x)  =  (x² + x) . (x² – x + 1)

=  x² . x² – x² . x + x² . 1 + x . x² – x . x + x . 1

=  x⁴ – x³ + x² + x³ – x² + x + 1

=  x⁴ + x + 1   bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1.      Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir  polinomdur.

2.      Değişme özelliği vardır.

3.      Birleşme özelliği vardır.

4.      Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5.      Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x² polinomunun tersi 1/x² ifadesi polinom değildir.

6.     Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R_[x] polinomlar kümesi;

1.              (R_[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2.              R_[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3.              R_[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R_[x], + , .  ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x)                 B(x)

ê T(x)

ê

.

-___________

R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1.              Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2.              Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x)  < derA(x)

3.              Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

4.              R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5.              der A(x) = der B(x) + der T(x)

Örnek

P(x) = x⁴-2x² + x 5 polinomunu

Q(x) = x² + 3x – 1 polinomuna bölelim.

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek

Px³ + qx² + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm

1.      Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2.      Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x³’ün katsayısı 0 olur.

3.      p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4.      a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir. 

px³ + qx² + rx + s,  x – a = 0  ise  x = a

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölüm B(x) = x³ + x² + 2x + 7

Kalan  R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden  olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek

P(x) = x² – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 2² – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k  yazılır.

O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine

yazılır.

Örnek

P(x) = x³ – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) Polinomunun x² + a, x³ + a, x⁴ + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x² + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x² yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x³ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x³ yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x⁴ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x⁴ yerine –a yazılır.

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + x² + 7x –1 polinomunun, x² + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x² + 2 = 0 Þ x² = -2) polinomda x² yerine –2 yazarız.

P(x) = x² . x² – x² . x + x² + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen  P(x)  polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  Þ P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b       Þ P(2) = 2a +b  olur.

-3a + b = -5

2a + b  = 4

Örnek

Bir P(x) polinomunun x² + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x² + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden  ax² + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x² + 2) (x – 1) b(x) + ax² + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 =  (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x² = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2  ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x² – 2x + 8  olur.

Read more