x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...........................(x+y)0
1 1 ........................(x+y)1
1 2 1 .....................(x+y)2
1 3 3 1 ..................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :
1. Açılımda n+1 tane terim vardır.
2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan de terimi oluşturan çarpanı ile çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x=1 ve y=1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının olduğunu hatırlayınız.
Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim, dir.
5. açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, ‘dir.
Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0...........................................................1
s(A)=1........................................................1.....1
s(A)=2...................................................1.....2.....1
s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin;
s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c} 3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane
s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Read more
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...........................(x+y)0
1 1 ........................(x+y)1
1 2 1 .....................(x+y)2
1 3 3 1 ..................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :
1. Açılımda n+1 tane terim vardır.
2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan de terimi oluşturan çarpanı ile çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x=1 ve y=1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının olduğunu hatırlayınız.
Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim, dir.
5. açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, ‘dir.
Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0...........................................................1
s(A)=1........................................................1.....1
s(A)=2...................................................1.....2.....1
s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin;
s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c} 3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane
s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
