Piramitler Nedir? Çeşitleri ve Özellikleri, Konu Anlatım, Ders Notu

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.

T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.

|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.

Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.

1.Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.

İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.

|PH| = h piramidin yüksekliğidir.

Yan yüz yüksekliği |PK| dır.

Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği

|PK|² = h² + ( )² olur.

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

2. Eşkenar Üçgen Piramit

Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Veya: 

3. Düzgün Dörtyüzlü Piramit

Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.

Bir ayrıtı a olan  düzgün dörtyüzlünün  

4. Düzgün Sekizyüzlü Piramit

Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.

Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.

Piramidin hacmi olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

5. Düzgün Altıgen Piramit

Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.

 

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.

Düzgün Altıgen Piramidin Alanı 1 tane altıgen ve 6 tane ikizkenar üçgenin alanları toplamından oluşur?

Düzgün altıgenin alanı: 

Read more

Üçgenler Nedir? Çeşitleri ve Özellikleri, Konu Anlatım, Ders Notları

Üçgenler. Üçgen nedir? Üçgen çeşitleri ve üçgenler ile ilgili temel bilgiler. Üçgenlerin eşitliği hakkında bilgi.

Üç kenar ve üç açıdan meydana gelen geometrik bir şekildir. Bu bakımdan üçgenler, çokgenlerin en basitidir. Bir üçgende üç kenar ve üç açıdan başka üç köşe, altı tane de ters açı vardır… Bu açılar ikişer ikişer birbirine terstir. Üçgenin, üç kenarı ve üç açısına o üçgenin elemanları denir.

Taban, üçgenin her hangi bir kenarıdır. Taban olarak kabul edilen kenarın karşısına düşen köşeye üçgenin tepesi, tepedeki açıya da Tepe Açısı denir. Tabanın köşelerinde bulunan iki açıya taban açıları denir.

Üçgenler kenarlarına ve açılarına göre ayrılırlar.

Üç kenarı birbirine eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen, yalnız iki kenarı eşit olanlara ikizkenar üçgen denir. Kenarları eşit olmayan üçgenler de çeşitkenar üçgen diye adlandırılır.

Üçgenler açılarına göre de sınıflandırılır. Bütün açıları dar olan üçgenlere dar üçgen, bir açısı dik olan üçgenlere dik üçgen, bir açısı geniş olan üçgenlere de geniş üçgen denir.

Dik üçgenlerde dik açının karşısına düşen kenara hipotenüs, dar açıların karşısındaki kenarlara ela dik kenarlar denir. Eğer bir dik üçgende dik kenarlar birbirine eşitse bu üçgene ikizkenar dik üçgen adı verilir.

Üçgenlerin iç açılarının toplamı iki dik açıya yani 180°’ye eşittir. Bunun sonucu olarak bir üçgenin bir dış açısı kendisine komşu olmayan iç açıların toplamına eşit olur.

Bir üçgenin, bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iç açıların her birinden büyüktür.

Bir dik üçgenin dar açıları birbirinin tümleridir. İki üçgenin ikişer açıları eşitse üçüncü açıları da eşittir.

Üçgenlerin Eşitliği

İki üçgen üst üste konulduğu zaman elemanları çakışırsa bu üçgenler eşittir. İki üçgenin arasındaki bu özellik şu teoremlerle belirtilir.

1)Birer kenarları ile bu kenarlara komşu açıları eşit olan üçgenler, birbirine eşittir.

2)İkişer kenarı ile aralarındaki açıları eşit olan üçgenler eşittir.

3)Üçer kenarı eşit olan üçgenler eşittir.

4)İkişer kenarı ile bunlardan büyük olanının karşısındaki açıları eşit olan üçgenler eşittir.

Üç açısı da aynı olan üçgenler eşit değildir. Yalnız birbirine benzerler.

Dik açıların eşitliği konusunda da aşağıdaki teoremler vardır:

1) Hipotenüsleriyle birer dar açıları eşit olan dik üçgenler eşittir.

2) Hipotenüsleriyle birer dik kenarları eşit olan dik üçgenler eşittir.

Read more

Dörtgen Formülleri Nelerdir? Dörtgen Çeşitleri ve Özellikleri

Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir.

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir.

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır. X=  ‘dir. (Şek.2)

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır. X=  (Şek.3)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

A(ABCD)=  e. f. sin   (Şek.4)

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir. (Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.7)

İspat: ADC üçgeninde  [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

ABC üçgeninde   [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

Buradan;

[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir.(Şek.8)

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2   DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa

[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2   BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak

[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

(1)   ve  (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır. (Şek.9)

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]’nin orta noktalarıdır.

CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

Not: P noktası  köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

‘dir. (Şek.11)

İspat: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

ABD üçgeninde kenarortay teoremine göre          (1)

DBC üçgeninde kenarortay teoremine göre            (2)

(1) ve (2)’den

2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2   (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre  ’dir. Buradan  4×2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir.

2(m2+n2)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4×2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur.

Buradan dabulunur.

Paralel Kenar  Dörtgen

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir. (Şek.12)

[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]

Özellikleri:

1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]

2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)

3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.

m(A)+m(B)=180,   m(B)+m(C)=180,    m(C)+m(D)=180,        m(D)+m(A)=180

4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC],   [BO]=[OD]’dir.

5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.

A(OAB)=A(OBC)=A(OCD)=A(ODA)=

*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB’nin alanı ABCD alanının yarısıdır. (Şek.14)

İspat: P den BC ye bir paralel çizelim. PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur.

A(PEB)=A(PBC) (1) ,

DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP)  (2).

(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplayalım. A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP)    A(PAB)=A(PBC)+A(DAP) Buradan da  bulunur.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]’dir. (Şek.15)

İspat:   AKF ile CKB üçgenleri benzerdir.            (1)

Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir.     (2)

[AF]=[CE] idi . Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur. [AK]=[CL] bulunur. Böylece (1) ve (2)’den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir.

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise

e2+f2 = 2(a2+b2) ‘dir. (Şek.16)

İspat: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım.

’dir.   ve Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur.

*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır.(Şek.17)

ABCD bir paralel kenar, [AA’]=[BB’]=[CC’]=[DD’] ise A’B’C’D’ bir paralel kenardır.

İspat: AA’B’ üçgeniyle CC’D’ üçgenleri benzerdir.(A.K.A) dan [A’B’]=[C’D’] olur. CBB’ ile de A’DD’ benzerdir. Buradan da [A’D’]=[C’B’] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir. Bu da paralel kenardır.

*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır.(Şek.18)

İspat: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir.(K.A.K)

Buradan da [HE]=[FG] ve  de [EF]=[GH] elde edilir. Bu durum da EFGH bir paralel kenardır.

*(Şek.19)’da ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF].[EG]’dir.

İspat: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir. Buradan   (1) EAG ile de ECD benzerdir.  (2)

(1)   ve (2)den   olur.

Buradan da [DE]2=[FE].[EG] elde edilir.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [BE]=[EC] ve [DF]=[FC] ise A(AECF)=  dir. (Şek.20)

İspat: A(AEC)=     A(ACF)=   toplarsak A(ACEF)=   bulunur.

*Şekil 21 deki gibi bir ABCD paralel kenarında [AE]=[EB] ve [DF]=[AF] ise

A(FEC)=  ’dir.

İspat: A(FAEC)=     A(FAE)=  taraf tarafa çıkarırsak A(FEC)=  bulunur.

Eşkenar Dörtgen

Geometride bir eşkenar dörtgen (baklava dilimi, rhombus veya rombus da denir), dört kenarı eşit uzunlukta bir dörtgendir. Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ve dik açılı olanı bir karedir. Öklid’in özgün rhombus tanımı kareyi dışlar ama modern matematikçiler kareyi de kapsayan tanımı tercih ederler.

Kısaca kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir.

Eşkenar Dörtgenin Özellikleri

Her eşkenar dörtgende köşeleri birleştiren iki çift paralel kenar ve iki köşegen vardır. Eşleşik (benzer) üçgenler kullanılarak, eşkenar dörtgenin bu köşegenlerin her birine göre simetrik olduğu ispatlanabilir. Dolayısıyla her eşkenar dörtgen aşağıdaki özellikleri taşır:

1. Karşı açılar eşittir.
2. Köşegenler birbirine diktir; yani eşkenar dörtgen bir dikköşegenli dörtgendir.
3. Köşegenler açıortaydır.

İlk özellik, her eşkenar dörtgenin bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. Eşkenar dörtgen dolayısıyla bir paralel kenarın tüm özelliklerine sahiptir: örneğin, karşı kenarlar paraleldir; bitişik açılar bütünlerdir; iki köşegen birbirini ikiye böler; orta noktadan geçen herhangi bir doğru, alanı ikiye böler; ve kenar uzunluklarının karelerinin toplamı köşegenlerin karelerinin toplamına eşittir (yani, ortak kenar uzunluğuna a ve köşegen uzunluklarına d₁ ve d₂ denirse, 4a² = d₁² + d₂²).

Her paralelkenar bir eşkenar dörtgen değildir ama paralel köşegenleri olan her paralelkenar (ikinci özellik) bir eşkenar paralelkenardır. Genelde, (biri bir simetri ekseni olan) birbirine dik köşegenli her dörtgen bir uçurtmadır. Her eşkenar dörtgen bir uçurtmadır ve hem uçurtma hem paralelkenar olan bir dörtgen bir eşkenar dörtgendir.

Eşkenar dörtgen bir teğetsel dörtgendir.Yani, dört kenarına da teğet olan bir dış teğet çember vardır.

Eşkenar Dörtgen Formülleri

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.

*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar. [AC] ^ [BD] [AO]=[OC] ve  [BO]=[OD]’dir.

*Köşegen uzunlukları [AC]=e [BD]=f ise A(ABCD)=  dir.

*Köşegenler açıortaydır.

*e2+f2 = 4a2 dir.

*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır. (Şek.23)

*Çevresi 4a’dır.

*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır.(Şek.24)

[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h   ([HF]=[GE]=h )

Read more