Tanım: Herhangi cins ve çeşitten oluşan iyi tanımlanmış bir nesneler topluluğudur.
Kümelerin Gösterilişi:
Liste Yöntemi: Küme elemanlarının {....} parantez içerisine 1'er tane olmak üzere yazılış sırası önemli olmadan yazılma şeklidir.
Ortak Özelik Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarını yazmadan, A = { x| p(x) } şeklinde göstermektir.
Venn Şeması: Küme elemanlarını kapalı bir şekil (çember, dikdörtgen vs. ) içersinde yazmaya 'VENN şeması ile gösterim' denir.
ÖRNEKLER
- A = {2,3,4,5,6,7,8} kümesi liste yöntemi ile yazılmıştır. s(A) = 6 (eleman sayısı altı dır.)
- B = {x,{x,y},{z},y,{y,z},t} kümesi de liste yöntemi ile yazılmıştır. s(B) = 6 dır. {z} , B'nin elemanı olup "z" B'nin elemanı değildir.
- A = {z| 0<z<10 , z asal sayı} ortak özelik yöntemiyle yazılmış olup, 0 ile 10 arasındaki asal sayılar kümesidir. A = {2,3,5,7} şeklinde de "liste yöntemi" ne göre de yazılır.
Eşit Kümeler: Elemanları aynı olan kümelerdir. A={a,b,c} , B={a,b,c} ise, A = B yazılır.
Ayrık Kümeler: Ortak elemanları olmayan kümelerdir. A={1,2,3} ve B={a,b,c,d} kümeleri Ayrık kümelerdir.
Alt Kümeler: Bir kümenin tüm elemanları bir başka kümenin elemanları ise, bu kümeye diğer kümenin Altkümesi denir.
Örnek : A={1,2,3} kümesinin Alt kümeleri ve Öz alt kümelerini bulunuz.
{} ; {1} , {2} , {3} ; {1,2} , {1,3} , {2,3} ; {1,2,3}
İlk yedi küme hem alt küme hem de öz alt küme olup son küme yani kendisi alt kümedir.
"n" elemanlı bir kümenin "r" elemanlı alt küme sayısı: Aşağıda verilen formülle hesaplanır.
Uyarı : C(n,p) = C(n,k) ise; n = p+k dır.
Örnek: Beş elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
C(5,0) + C(5,1) + C(5,2) = 1 + 5 + 10 = 16 bulunur.
Kümelerde Kesişim, Birleşim ve Fark
| Yandaki şekilde anlaşılacağı üzere, E={x,y,z,t} A={x,y} B={y,z}verildiğinde; AUB={x,y,z} olur. A ve B'nin kesişim kümesi "y" ve fark kümeleri sırasıyla AB={x} ve BA={z} dir. "t" elemanı ise (AUB)' kümesine yani E (AUB) kümesine aittir. |
Ö R N E K L E R
- E ={a,b,c,d,e} A ={a,b,d} B ={b,d,e} kümeleri verildiğine göre; B' - A' fark kümesi nedir? (A' ve B' kümeleri sırasıyla A ve B kümelerinin tümleyenleridir.)
B' = { a , c } A' = { e , c } olduğuna göre, b' - A' = { a } olur.
bize sorulan, B' kümesinde olup da A' kümesinde olmayan elemandır. - Alt kümeleri ile Öz alt kümeleri toplamları 127 olan kümenin dört elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?Alt küme + Öz alt küme = 127 => Alt küme + Alt küme - 1 = 127 => 2 . Alt küme = 128 => Alt küme = 64
2n = 64 => n = 6 => (A) = 6 bulunur. 4 elemanlı alt küme sayısı => C(6,4)= 6! / 4!.2! => = 15 bulunur. - 1 den 159'a kadar (159 dahil) doğal sayılardan kaç tanesi 3 veya 5 ile bölünebilir?
53 + 31 - 10 = 74
demek ki 74 tane 3 veya 5 ile bölünebilen sayı olduğu görülür. - 42 kişilik bir kafilede 25 kişi Almanca, 16 kişi Türkçe dillerini bilmemekte ve 6 kişi de her iki dili bilmektedir. Kafilede her iki dili de bilmeyen kaç kişi vardır?
x + y + z + 6 = 42 x + y + z = 36 y + z = 25
x + z = 16 x + y + z + z = 41 36 + z = 41
z = 5 bulunur.
