Doğal ve Rasyonel Sayılar - Bölünebilme - Taban Aritmetiği

Tanım: sayıları göstermek için kullanılan işaretlerin herbirine Rakamdenir.

Sayıların Gösterilişi:

Q (Rasyonel Sayılar) Z (Tam Sayılar) N Doğal Sayılar

Q' (İrrasyonel Sayılar)

 

N : { 0, 1, 2, , , , n}      S : { 1, 2, , , , n}      Z : { , , , -2, -1, 0, 1, 2, , , }      Q : { , , , -a/b , , 0, a/b , , , }      Q U Q' = R

Yukarıda görüldüğü gibi Q, Z ve N'i ; Z ise sadece N kümesini kapsar. Q' (bazen İkümesi de deniyor) rasyonel olmayan sayılar kümesidir. Reel Sayılar kümesi ise, Rasyonel ve İrrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi olarak ifade edilir.Tüm sayıların yukarıdaki kümelerde göstrildiği gibi aklımıza takılan bazı sayıların da ne olduğuna ve nerede bulunduğuna bakalım.

• Ardışık Doğal Sayılar
  Arka arkaya gelen doğal sayılar. , , , , , n , n+1, n+2 , , , , , ,
• Çift Sayılar
  Doğal sayılar içinden alınan herhangi bir n sayısının 2 ile çarpılarak bulunan sayılardır.2n, 4n,
• Ardışık Çift Sayılar
  Arka arkaya gelen çift sayılardır , , , 2n , 2n+2 , 2n+4, , , ,
• Tek Sayılar
  Bir çift sayıya tek sayı ilave etmek veya bir çift sayıdan tek sayı çıkarmak suretiyle elde edilen sayılardır. 2n-1, 4n+1,
• Ardışık Tek Sayılar
  Arka arkaya gelen tek sayılardır , , 2n-3 , 2n-1 , 2n+1 , 2n+3, , , ,
• Asal Sayılar
  1 ve kendisinden başka doğal sayılara tam olarak bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılardır.    2 , 3, 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , , ,
• Aralarında Asal Sayılar
  1'den başka ortak böleni olmayan doğal sayılardır.    7 ve 18 gibi

 

Bölünebilme
Tanım:
Bir bölme işleminde kalan sıfır "0" oluyorsa, bölünen, bölene tam olarak bölünüyor denir.

BÖLÜNEBİLME      KURALLARI

2 ile bölünebilme	Birler basamağındaki rakam 0 veya çift olan sayılar
3 ile bölünebilme	Rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar
4 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 4'ün katı olan sayılar
5 ile bölünebilme	Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar
6 ile bölünebilme	Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar
8 ile bölünebilme	Son üç basamağı 000 veya 8'in katı olan sayılar
9 ile bölünebilme	Rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar
10 ile bölünebilme	Birler basamağı 0 olan sayılar
11 ile bölünebilme	Rakamları sondan başa doğru - + - + - şekilde işaretlendiğinde, + ve - lerin farkı 0ya da 11 veya 11 'in katı olan sayılar
25 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 25'in katı olan sayılar
50 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 50 olan sayılar

 

Bazı önemli tanım ve uyarılar
 

Rakamların basamaklara bağlı olmadan gösterdikleri doğal sayıya sayı değeri denir. 
Rakamların, bulunduğu basamaklara göre aldıkları değere basamak değeri denir. 
Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme ve birleşme özelliği vardır. 
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin değişme ve birleşme özelliği olmayıp kapalı değildir. 
Bir sayının asal çarpanlara ayrılması, çarpanları asal sayılar cinsinden yazılmasıdır. 
x bir asal sayı olmak üzere, x sayını bölebilen (n+1) tane sayma sayısı vardır. 
Sayılarda işlem sırası parantez - kuvvet - çarpma/bölme - toplama/çıkarma şeklindedir. 
n! sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için, n'i sürekli 5'e bölerek bulunan bölümleri toplarız. 
Toplamları verilen doğal sayılar 3,5,7,,, gibi tek adette ise, toplam adet'e bölünerek ortanca (ortadaki sayı) bulunur. 
Toplamları verilen doğal sayılar 2,4,6,,, gibi çift adette ise, tüm sayılar ya en küçüğe, ya da en büyüğe göre düzenlenip sonuca gidilir. 
Ardışık tek/çift doğal sayılar arasında 2 fark vardır. 
İki doğal sayı arasındaki sayı adedini bulmak için son sayıdan ilk sayı çıkartılıp "1" eksiği alınır. 
İki doğal sayı (kendileri de dahil olmak üzere) arasındaki sayı adedini bulmak için son sayıdan ilk sayı çıkartılıp "1" toplanır.

Tam sayı bölenleri
a, b ve c Asal sayılar ve x, y ve z Sayma sayılar kümeleri olmak üzere T = ax . by . cz    şeklinde verilen T sayısının pozitif bölenlerinin;

• sayısı
  (x+1) . (y+1) . (z+1)
• toplamı
  (1+a+a²+...+ax ) . (1+b+b²+...+by ) . (1+c+c²+...+cz ) 
  Formülleriyle hesaplanır.

Sayıların (OKEK) - (OBEB) lerinin bulunması
Verilen sayıların asal çarpanları bulunduğunda;

• Ortak olan asal çarpanların üsleri en büyük olanlar ile üsleri eşit olanların birer tanesive ortak olmayanların tümünün çarpımı (OKEK)'i verir.
• Ortak olan asal çarpanların üsleri en küçük olanlar ile üsleri eşit olanların birer tanesinin çarpımı (OBEB)'i verir.

Taban Aritmetiği
Günlük hayatta kullanılan sayılar   {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }    rakamlarından oluşup, 10'luk sayı sistemindedir. Sayılar farklı tabanlarda yazılıp yine farklı tabanlarda istenebilir. Bu durumda yapılacak işlemeler aşağıdaki gibi olacaktır.

(sayı)10 = ( ? )x	" B ö l "     sayıyı sürekli x'e bölüp son bölümün yanına sondan başa doğru kalanları yazarız
(sayı)x = ( ? )10	"Ç ö z ü m l e "     sayının rakamlarını bulundukları basamak değerlerine göre yazarız.
(sayı)x = ( ? )y	"Ç ö z ü m l e "    ve    " B ö l "    birinci ve ikinci satırdaki yazdıklarımızı birlikte uygularız.

UYARI
Aynı tabanda iki sayının toplam/çarpma işlemi 10'luk düzene çevirmeden de o tabandaki basamaklar düşünülerek yapılabilir.

UYARI
   (abc) m sayısının TEK / ÇİFT olma durumu

m çift sayı ise	c TEK ise, sayı TEK ; c ÇİFT ise , sayı ÇİFT
m tek sayı ise	(a+b+c) TEK ise, sayı TEK ; (a+b+c) ÇİFT ise sayı ÇİFT

ÖRNEKLER

150 ½ 2   75 ½ 3   25 ½ 5     5 ½ 5     1 ½

kural: (x+1) . (y+1) . (z+1) idi, asal çarpanlar : 21, 31, 52    =>    (1+1) . (1+1) . (2+1) = 2 . 2 . 3    =>    12tane pozitif bölen bulunur. Bunların Toplamı; ( 2o + 21 ) . ( 3o + 31 ) . (5o + 51 + 52 ) = 3 . 4 . 31 = 372 bulunur.

 

252 ½ 2 126 ½ 2   63 ½ 3   21 ½ 3     7 ½ 7      1 ½

1 470 ½ 2    735 ½ 3    245 ½ 5      49 ½ 7        7 ½ 7         1 ½

252 = 22 . 32 . 7  1 470 = 2 . 3 . 5 . 72

OKEK(252,1470) = 22 . 32 . 72 . 5 = 8 820
OBEB(252,1470) = 2 . 3 . 7 bbbb =      42
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
370 440 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb=   370 440 

Uyarı: İki sayının obeb ve okek 'leri çarpımı; sayıların çarpımına eşittir.

• 150 sayısının pozitif tam sayı bölenleri adedi ile bunların toplamı kaçtır?
• 252 ile 1 470 sayılarının (OKEK) ve (OBEB) lerini bulunuz.