FONKSİYONLAR
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
Fonksiyon olması için;
1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.
2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.
3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.
4) B’de açıkta elaman kalabilir.
Örnek: A={ali,ayşe,fatma} B={sarma,makarna,pilav,yahni}
A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?
a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}
b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}
c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}
Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.
g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.
f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.
Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.
f: A---->B biçiminde yada f: x---->y biçiminde gösterilir.
y=f(x) yazılır. xϵA, y=f(x)ϵB olur.
Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.
Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma
Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni
Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni
Örnek: A={a,b,c} B={1,2,3,4,5,6} ise
Fonksiyonun elemanlarının liste yöntemiyle gösterimi
f={(a,2),(b,4),(c,4)}
Fonksiyonun görüntü kümesi
f(A)={2,4}
Örnek: A={-1,0,2,4}, f: A---->B, f(x) = x2-2 veriliyor. f ve f(A) kümesini
bulalım.
Tanım kümesindeki elemanlara x deriz.
x=-1 için f(-1)=(-1)2-2=-1
x=0 için f(0)=(0)2-2=-2
x=2 için f(2)=(2)2-2=2
x=4 için f(4)=(4)2-2=14
f={(-1,-1),(0,-2),(2,2),(4,14)}
f(A)={-1,-2,2,14}
Örnek: f(x+1)=3+f(x) ve f(1)=4 ise f(3) kaçtır?
f(x+1)=3+f(x) eşitliğinde
x=1 yazalım.
f(2)=3+f(1)
f(2)=3+4=7
x=2 yazalım.
f(3)=3+f(2)
f(3)=3+7=10
Örnek: f: R---->R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor. f(2x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti nedir?
f(x) = 3x+5
f(2x+3) = 3(2x+3)+5
f(2x+3) = 6x+14
f(2x+3) = 2(3x+5)+4
f(2x+3) = 2f(x)+4
Örnek: f: R---->R, f(3x+2) = x2-x+2 olduğuna göre f(5)+f(2) toplamı
kaçtır?
f(3x+2) = x2-x+2 fonksiyonun içlerini sırasıyla 5 ve 2’ye eşitleyeceğiz.
3x+2=5 buradan x=1 olur.
x=1 için f(5)=1-1+2=2
3x+2=2 buradan x=0 olur.
x=0 için f(2)=0-0+2=2
f(5)+f(2)=2+2=4
Düşey Doğru Testi
Bir grafikte tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen doğrular,grafiği bir noktada kesiyor ise grafik, fonksiyon grafiğidir.Bu işleme düşey doğru testi denir.
Fonksiyon Çeşitleri ve Türleri
Bire-Bir Fonksiyon
f: A---->B fonksiyonu için, A’nın farklı elemanlarını B’nin farklı elamanlarına eşleyen fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. (1-1 şeklinde de gösterilir.)
Yani farklı elamanların görüntüleri de farklı olmalıdır.
Örnek: Hangisi bire-bir fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2,3,4,5}
f={(0,0),(1,2),(2,4),(3,3)}
g={(0,1),(1,1),(2,3),(3,5)}
g fonksiyonunda 0 ve 1’in görüntüleri de 1’dir.Bire-bir olması için görüntülerin farklı olması gerekir.Yani bire-bir değildir.
f fonksiyonu bire-bir’dir.
Yatay Doğru Testi
Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde grafiği kesecek şakilde yatay eksene paralel doğrular çizilir.Çizilen bu doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir (1-1) fonksiyondur ya da bire birdir denir.Bu işleme yatay doğru testi denir.
Örten Fonksiyon
f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.Yani B’nin hiçbir elemanı açıkta kalmayacak.
Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyona 1-1 örten fonksiyon denir.
Örnek: Hangisi örten fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2}
f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}
g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}
g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. Yani örten değildir.
f fonksiyonu örten’dir.
Örnek: Sınıfımızdaki öğrencilerin kümesine tanım kümesi,sınıfımızdaki öğrencilerin okul numaralarının kümesine de değer kümesi diyelim.
Görüntü kümesini oluştururken her öğrenci kendi numarasıyla eşleşeceğine göre bu fonksiyon hem 1-1, hem de örten fonksiyondur.
İçine Fonksiyon
f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.Yani örten olmayan fonksiyondur.
Örnek: Hangisi içine fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2}
f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}
g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}
g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. g fonksiyonu içine fonksiyondur. f fonksiyonu içine fonksiyon değildir.
Birim Fonksiyon
A’dan A’ya bir fonksiyon için, her eleman kendisiyle eşleşiyorsa, bu fonksiyona birim fonksiyon denir.
I: A---->A , I(x)=x biçiminde ifade edilir.
Örnek: I: A---->A , I(x)=x
A={1,2,3} B={1,2,3}
f={(1,1),(2,2),(3,3)} birim fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesinin her elamanının görüntüsü aynı olan,yada görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona,sabit fonksiyon denir.
f(x)=c (cϵR)
Örnek: x---->y, f(x)=4
A={1,2,3} B={3,4,5}
f={(1,4),(2,4),(3,4)} sabit fonksiyondur.
Doğrusal Fonksiyon
Matematikte grafiği doğru olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.
f: R---->R f(x)=mx+n olarak ifade edilir.
Örnek: f: R---->R f(x)=mx+n
f(x)=x-2
g(x)=-4x+1
h(x)=5x
k(x)=x2
Yukarıdakilerin hepsi doğrusal fonksiyondur.
Fonksiyon Sayısı
A={a,b,c} , B={1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor.
a) A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı nedir?
s(B)s(A) formülüyle bulunur.
s(A)=3
s(B)=5
s(B)s(A) = 53 = 5.5.5 = 125’tir.
b) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyonların sayısı nedir?
s(A)=m, s(B)=n
P(n,m)=n!/(n-m)! Formülüyle bulunur.
P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=120/2=60’tır.
c) A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı nedir?
B’nin eleman sayısıdır.Sabit fonksiyon sayısı 5’tir.
d) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir örten fonksiyonların sayısı nedir?
s(A)=m ise A’dan A’ya tanımlanan bire-bir örten fonksiyon sayısı P(m,m)=m!
P(m,m)=m!= P(3,3)=3!=1.2.3=6’dır.
Read more
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına, A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
Fonksiyon olması için;
1) A’nın her elamanı B’ye gidecek.
2) A kümesinde açıkta eleman kalmayacak.
3) A’nın herhangi bir elamanı B’ye iki defa gitmeyecek.
4) B’de açıkta elaman kalabilir.
Örnek: A={ali,ayşe,fatma} B={sarma,makarna,pilav,yahni}
A’dan B’ye tanımlanan bağıntılardan hangileri fonksiyondur?
a) f={(ali,sarma),(ayşe,makarna),(fatma,yahni)}
b) g={(ali,pilav),(ayşe,sarma),(fatma,yahni),(fatma,makarna)}
c) h={(ayşe,sarma),(fatma,pilav)}
Yukarıdakilerden h bağıntısı fonksiyon değildir çünkü ali açıkta kalmıştır.
g bağıntısı fonksiyon değildir çünkü fatma iki çeşit yemek almıştır.
f bağıntısı fonksiyondur.A’nın her elamanı B’den bir çeşit yemek seçmiştir.
Buradaki kişilerin kümesine fonksiyonun tanım kümesi,yemeklerin kümesine fonksiyonun değer kümesi,değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.
f: A---->B biçiminde yada f: x---->y biçiminde gösterilir.
y=f(x) yazılır. xϵA, y=f(x)ϵB olur.
Fonksiyonun görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.
Tanım kümesi: ali,ayşe,fatma
Değer kümesi: sarma,makarna,pilav,yahni
Görüntü kümesi: sarma,makarna,yahni
Örnek: A={a,b,c} B={1,2,3,4,5,6} ise
Fonksiyonun elemanlarının liste yöntemiyle gösterimi
f={(a,2),(b,4),(c,4)}
Fonksiyonun görüntü kümesi
f(A)={2,4}
Örnek: A={-1,0,2,4}, f: A---->B, f(x) = x2-2 veriliyor. f ve f(A) kümesini
bulalım.
Tanım kümesindeki elemanlara x deriz.
x=-1 için f(-1)=(-1)2-2=-1
x=0 için f(0)=(0)2-2=-2
x=2 için f(2)=(2)2-2=2
x=4 için f(4)=(4)2-2=14
f={(-1,-1),(0,-2),(2,2),(4,14)}
f(A)={-1,-2,2,14}
Örnek: f(x+1)=3+f(x) ve f(1)=4 ise f(3) kaçtır?
f(x+1)=3+f(x) eşitliğinde
x=1 yazalım.
f(2)=3+f(1)
f(2)=3+4=7
x=2 yazalım.
f(3)=3+f(2)
f(3)=3+7=10
Örnek: f: R---->R, f(x) = 3x+5 fonksiyonu veriliyor. f(2x+3) fonksiyonunun f(x) cinsinden eşiti nedir?
f(x) = 3x+5
f(2x+3) = 3(2x+3)+5
f(2x+3) = 6x+14
f(2x+3) = 2(3x+5)+4
f(2x+3) = 2f(x)+4
Örnek: f: R---->R, f(3x+2) = x2-x+2 olduğuna göre f(5)+f(2) toplamı
kaçtır?
f(3x+2) = x2-x+2 fonksiyonun içlerini sırasıyla 5 ve 2’ye eşitleyeceğiz.
3x+2=5 buradan x=1 olur.
x=1 için f(5)=1-1+2=2
3x+2=2 buradan x=0 olur.
x=0 için f(2)=0-0+2=2
f(5)+f(2)=2+2=4
Düşey Doğru Testi
Bir grafikte tanım kümesinden y eksenine paralel çizilen doğrular,grafiği bir noktada kesiyor ise grafik, fonksiyon grafiğidir.Bu işleme düşey doğru testi denir.
Fonksiyon Çeşitleri ve Türleri
Bire-Bir Fonksiyon
f: A---->B fonksiyonu için, A’nın farklı elemanlarını B’nin farklı elamanlarına eşleyen fonksiyona bire-bir fonksiyon denir. (1-1 şeklinde de gösterilir.)
Yani farklı elamanların görüntüleri de farklı olmalıdır.
Örnek: Hangisi bire-bir fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2,3,4,5}
f={(0,0),(1,2),(2,4),(3,3)}
g={(0,1),(1,1),(2,3),(3,5)}
g fonksiyonunda 0 ve 1’in görüntüleri de 1’dir.Bire-bir olması için görüntülerin farklı olması gerekir.Yani bire-bir değildir.
f fonksiyonu bire-bir’dir.
Yatay Doğru Testi
Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde grafiği kesecek şakilde yatay eksene paralel doğrular çizilir.Çizilen bu doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir (1-1) fonksiyondur ya da bire birdir denir.Bu işleme yatay doğru testi denir.
f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.Yani B’nin hiçbir elemanı açıkta kalmayacak.
Hem bire-bir hem de örten olan fonksiyona 1-1 örten fonksiyon denir.
Örnek: Hangisi örten fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2}
f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}
g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}
g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. Yani örten değildir.
f fonksiyonu örten’dir.
Örnek: Sınıfımızdaki öğrencilerin kümesine tanım kümesi,sınıfımızdaki öğrencilerin okul numaralarının kümesine de değer kümesi diyelim.
Görüntü kümesini oluştururken her öğrenci kendi numarasıyla eşleşeceğine göre bu fonksiyon hem 1-1, hem de örten fonksiyondur.
İçine Fonksiyon
f: A---->B fonksiyonu için,görüntü kümesi değer kümesine eşit olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.Yani örten olmayan fonksiyondur.
Örnek: Hangisi içine fonksiyondur?
A={0,1,2,3} B={0,1,2}
f={(0,0),(1,2),(2,1),(3,2)}
g={(0,1),(1,1),(2,2),(3,2)}
g fonksiyonunda 0’a gidilmemiştir.Yani 0 açıkta kalmıştır. g fonksiyonu içine fonksiyondur. f fonksiyonu içine fonksiyon değildir.
Birim Fonksiyon
A’dan A’ya bir fonksiyon için, her eleman kendisiyle eşleşiyorsa, bu fonksiyona birim fonksiyon denir.
I: A---->A , I(x)=x biçiminde ifade edilir.
Örnek: I: A---->A , I(x)=x
A={1,2,3} B={1,2,3}
f={(1,1),(2,2),(3,3)} birim fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon
Tanım kümesinin her elamanının görüntüsü aynı olan,yada görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyona,sabit fonksiyon denir.
f(x)=c (cϵR)
Örnek: x---->y, f(x)=4
A={1,2,3} B={3,4,5}
f={(1,4),(2,4),(3,4)} sabit fonksiyondur.
Doğrusal Fonksiyon
Matematikte grafiği doğru olan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.
f: R---->R f(x)=mx+n olarak ifade edilir.
Örnek: f: R---->R f(x)=mx+n
f(x)=x-2
g(x)=-4x+1
h(x)=5x
k(x)=x2
Yukarıdakilerin hepsi doğrusal fonksiyondur.
Fonksiyon Sayısı
A={a,b,c} , B={1,2,3,4,5} kümeleri veriliyor.
a) A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı nedir?
s(B)s(A) formülüyle bulunur.
s(A)=3
s(B)=5
s(B)s(A) = 53 = 5.5.5 = 125’tir.
b) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir fonksiyonların sayısı nedir?
s(A)=m, s(B)=n
P(n,m)=n!/(n-m)! Formülüyle bulunur.
P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=120/2=60’tır.
c) A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı nedir?
B’nin eleman sayısıdır.Sabit fonksiyon sayısı 5’tir.
d) A’dan B’ye tanımlanan bire-bir örten fonksiyonların sayısı nedir?
s(A)=m ise A’dan A’ya tanımlanan bire-bir örten fonksiyon sayısı P(m,m)=m!
P(m,m)=m!= P(3,3)=3!=1.2.3=6’dır.
