Aöf 2013 Matematik Güz Dönemi Ara Sınav Soruları ve Cevapları

1) s (AL, B) = 12, s (An B) = 3 ve s(B) =3 ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
Cevap: a

3) 23 +24 + 25 _26 işleminin minin sonucu kaçtır?
A) -23 B) 15.23 C) 26
D) 3 26 E) 27

Cevap: a

7) x2 -2x- = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) B) {-2, 4} C) {-4, 2}
D) {2, 4} E) {-4, -2}
Cevap: b

8) Kökleri 1 ve 4 olan 2. Dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + 4x - 3 = O B) 2x2 +5x + 4 = O
C) x2 -5x+4 =0 D) x2 -5x-4 =O
E) x2+x+4=0
c

13) (-1, 2) ve (-2, 3) noktalarını birleştiren doğrunun denklemi nedir?
2x-y+4=0
x+2y-3=0
x+y-1=0
x+y+1=9
x-y-3=0
Cevap: c

14) Aşağıdakilerden hangisi bir parabol denklemi d«jildir?
x = y2 -1
y = x2 -3x
x = y2 -3y +1
y = (x -3)2 +1
x =1
Cevap: e

15) y= x2-4x+1 parabolünün tepe noktasının x koordinatı aşağıdakilerden hangisidir?
A) -2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Cevap: d

23) Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bir sabit fonksiyondur?
A) f(x)=3x+2 B) f(x)=x3+4 C) f(x)=25x
D) f(x)=37 E) f(x)=x

Cevap: d

17) f(x) =  1  fonksiyonunun tanım kümesi
x + 5
aşağıdakilerden hangisidir?

A) {-5,5}
B) {-5}
D) R - {-5}
C) R -{-5}
E) R- 1/5
Cevap: c

18. f(x) = 2x - 3 ve g(x) = -x2 - 2x olduğuna göre (gof) (1) değeri kaçtır?
A) -3 B) -1 C) 0 D) 1 E) 3

Cevap: d

25. %40 bileşik faiz oranıyla bankaya yatırılan 30.000TL, 3 yıl sonunda kaç TL olur?
A) 42.000 B) 48.000 C) 58.800
D) 72.000 E) 82.320

Cevap: e

Read more

Deltoid Alanın Hesaplanması ve Özellikleri Nelerdir?

• DELTOİD

a. Deltoid Tabanları çakışık iki ikizkenar üçgenin oluşturduğu dörtgenedeltoid denir.
 
b. Deltoidin köşegenleri diktir.

|AC| ^ |BD|  
c. Köşegenleri dik olduğundan alanı 
 
d. ABCD deltoidinde [AC] köşegeni aynı zamanda A ve C açılarının açıortay doğrusudur.e. ABD ve BCD ikizkenar üçgenlerinin tabanını oluşturan köşegen diğer köşegen tarafından iki eşit parçaya bölünür.
f. Deltoidin farklı kenarlarının birleştiği köşelerdeki açıları eşittir.
m(ABC) = m(ADC)

Read more

Üslü Sayılarda Dört İşlem Soruları - Çözümlü Üslü Sayılar Soruları ve Cevaplar

3 x 3 x 3 x 3 x 3 ifadesini kısaca
35 şeklinde yazabiliriz.

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 tir.
35 sayısı üç üssü beş veya üçün beşinci kuvveti diye okunur.
Bu sayıda taban 3, üs ise 5 tir.

Örnek
2 x 2 x 2 = 23,
3 x 3 x 3 x 3 = 34,
a x a x a = a3,
a x a x a x a = a4 gibi yazılabilirler.


A. TANIM
a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

ifadesine üslü ifade denir.
k . an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban n ye üs denir.


B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ

1. a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir.
2. 00 tanımsızdır.
3. n Î IR ise, 1n = 1 dir.
4. 
5. (am)n = (an)m = am . n
6. 
7. 
8. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
9. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10. n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,

a. (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.
b. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir.
c. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi

a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

11. 

12. 

C. ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA
1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,
Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.
Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.


D. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

1. x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an
2. am . an = am + n
3. am . bm = (a . b)m
4. 
5. 
E. ÜSLÜ DENKLEMLER

1. a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, ax = ay ise x = y dir.
2. n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise, x = y dir.
3. n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise, x = y veya x = – y dir.

Read more

Çarpanlara Ayırma İle İlgili Sorular ve Cevapları

1.

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

2.

ifadesinin sadeleşmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

3.

Yukarıdaki ifadenin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

4.

işleminin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

5.

ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

6. (a+b-c)²-(a-b+c)² ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2a(c-a)                     B) 4b(c-a)             C) 4c(a-b)

D) 4a(b-c)                     E) 2c(a-b)

7.

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

8.

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

9.

ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

10.

eşitliğini doğrulayan a nın, b cinsinden değerleri toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

11.

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi a nın bir çarpanıdır?

A) b-1                            B) b+1                   C) b²-2

D) 2+b                           E) 2-b

12.

(a-x)(b-y)+xy-x(y-b)-y(x-a)

ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ab                             B) xy                      C) –xy

D) ax                             E) by

13.

olduğuna göre,

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) xy-1                          B) 1+xy                  C) 1-xy

D) xy                              E) -xy

14.

x=4   y=2

olduğuna göre,

ifadesinin değeri kaçtır?

A) 16                             B) 32                      C) 64

D) 128                           E) 256

15. x,y birer gerçel sayı ve

olduğuna göre, x+y kaçtır?

16.

olduğuna göre, y aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 3                                B) 4                        C) 5

D) 7                               E) 8

17.

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) b-a                            B) a-b                    C) a+b

D) a-1                            E) a+1

18.

olduğuna  göre

  nin değeri kaçtır?

A) 4                                B)  6                       C) 8

D) 10                             E) 12

19.

olduğuna göre a kaçtır?

A) 5                                B) 15                      C) 25

D) 35                             E) 45

20.

olduğuna göre, x+y toplamı kaçtır?

A) 12                             B) 13                      C) 14

D) 15                             E) 16

CEVAP ANAHTARI

1-D      2-B      3-D      4-A      5-A

6-D      7-A     8-E      9-C     10-C      11-E

12-A      13-D     14-B      15-D      16-A      17-B      18-C      19-C     20-D

Read more

Polinomlar, Polinom Çeşitleri ve Özellikleri | Konu Anlatımı

a₀, a₁, a₂, ....a_n-1, a_n Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + .... + a₁ x + a₀ şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1.      a_n xⁿ, a_n-1 x^n-1, ...., a_k x^k, ....., a_yx, a₀ ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

2.      a_n, a_n-1, ...., a_k, ...., a_y, a₀ reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

3.      P(x) polinomunda a_nxⁿ terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

4.      Derecesi en büyük olan a_nxⁿ terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a₀ sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

5.      P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... + a₁x + a₀ şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + .... + a_n-1x^n-1 + a_nxⁿ biçiminde sıralanır.

6.      Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R_[x]  ile gösterilir.

Örnek:

P(x) = 2x^5-3/n +x^n-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3  Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x^5-3/3 + x^3-2 + 4

P(x) = 2x⁴ + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x³y² – 2x⁴ y³ + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y)  dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek

P(x, y) = 2x²y⁴ – 3x³y⁵ + x²y³-y⁵ + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x²y⁴ teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x³y⁵ teriminin derecesi 3 + 5 =8

x²y³ teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y⁵ teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek

P(x) = x³ – 3x² + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 2³ – 3.2² + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 0³ – 3.0² + 4.0 – 2 = - 2  bulunur.

P(1) = 1³ – 3.1² + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ polinomunda,

a_n = a_n-1 = ... = a₁ = a₀ = 0 ise; P(x) = 0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x² + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek

P(x) = (m + 3)x² + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0,      n – 5 = 0,      t = 0 ;

m = -3,           n = 5,      t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ polinomunda, a_n = a_n-1 = ... = a₁ = 0 ve a₀ ¹ 0 ise; P(x) polinomuna,sabit polinom denir.

0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x + a₀ sabit polinomu, a₀ ile  gösterilir.

x⁰ = 1 olduğundan; a₀ sabit polinomu, a₀x⁰ biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) = A – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,

A(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ ve

B(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₂x² + b₁x + b₀  polinomları için;

A(x) = B(x) Û a_n = b_n, a_n-1 = b_n-1, ... , a₂ = b₂, a₁, a₀ = b₀ dır.

Örnek

A(x) = 5x³ + (a + 1x² + d,

polinomları veriliyor.

A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R ® R

x ® P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀  fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R ® R

x ® P(x) = 5x³ + 2x² – 3x + 1  ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek

P(x) = x² + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)² + 2(x-1) + 1

= x² – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x²

P(x-1) = x² olarak bulunur.

II: Yol:

Önce P(x) = x² + 2x + 1 = (x+1)² olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)² = x² bulunur.

Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x³ – 2x² + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

P(x+2) = x³ - 2x² + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ  h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) =  (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

P(h) = (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

P(x) = (x – 2)³ – 2(x – 2)² + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = a_nx_n + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀    polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀  katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek

P(x) = 2x⁴ + 5x³ – 3x² + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.1⁴ + 5.1³ – 3.1² + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4  bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

B(x) = b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir. 

A(x) + B(x) = a₄ x⁴ + ( a₃ + b₃ ) x³ + ( a₂ + b₂ ) x² + ( a₁ + b₁ ) x + a₀ + b₀

Örnek

P(x) = x³ + 2x² – 3x + 1, Q(x) = 3x² + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm

P(x) + Q(x) = x³ + (2+3) x² + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

= x³ + 5x² + (Ö3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1.      Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3.      Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4.      Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5.      Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için,  P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek

Çözüm

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

a_nxⁿ ile b_kx^k teriminin çarpımı

a_nxⁿ . b_kx^k = (a_n . b_k) x^n+k dir.

Yani (5x³) . (-2x⁴) = 5 . (-2) x³⁺⁴ = -10x⁷

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek

A(x) = 3x⁴ + 1,   B(x) = x² + x

C(x) = x² – x + 1  polinomları veriliyor.

a)      A(x) . B(x)

b)      B(x) . C(x)  çarpımlarını bulunuz.

Çözüm

a)      A(x) . B(x)  =  (3x⁴ + 1) . (x² + x)

=  3x⁴ . x² + 3x⁴ . x + x² + x

=  3x⁶ + 3x⁵ + x² + x

b)      B(x) . C(x)  =  (x² + x) . (x² – x + 1)

=  x² . x² – x² . x + x² . 1 + x . x² – x . x + x . 1

=  x⁴ – x³ + x² + x³ – x² + x + 1

=  x⁴ + x + 1   bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1.      Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir  polinomdur.

2.      Değişme özelliği vardır.

3.      Birleşme özelliği vardır.

4.      Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5.      Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x² polinomunun tersi 1/x² ifadesi polinom değildir.

6.     Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R_[x] polinomlar kümesi;

1.              (R_[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2.              R_[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3.              R_[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R_[x], + , .  ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x)                 B(x)

ê T(x)

ê

.

-___________

R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1.              Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2.              Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x)  < derA(x)

3.              Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

4.              R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5.              der A(x) = der B(x) + der T(x)

Örnek

P(x) = x⁴-2x² + x 5 polinomunu

Q(x) = x² + 3x – 1 polinomuna bölelim.

Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek

Px³ + qx² + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm

1.      Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2.      Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x³’ün katsayısı 0 olur.

3.      p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4.      a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir. 

px³ + qx² + rx + s,  x – a = 0  ise  x = a

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölüm B(x) = x³ + x² + 2x + 7

Kalan  R(x) = 18 bulunur.

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden  olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek

P(x) = x² – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 2² – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k  yazılır.

O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine

yazılır.

Örnek

P(x) = x³ – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) Polinomunun x² + a, x³ + a, x⁴ + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x² + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x² yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x³ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x³ yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x⁴ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x⁴ yerine –a yazılır.

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + x² + 7x –1 polinomunun, x² + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x² + 2 = 0 Þ x² = -2) polinomda x² yerine –2 yazarız.

P(x) = x² . x² – x² . x + x² + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen  P(x)  polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  Þ P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b       Þ P(2) = 2a +b  olur.

-3a + b = -5

2a + b  = 4

Örnek

Bir P(x) polinomunun x² + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x² + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden  ax² + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x² + 2) (x – 1) b(x) + ax² + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 =  (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x² = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6 Þ b = -2  ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7 Þ a + c = 9 dur.

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x² – 2x + 8  olur.

Read more